Determine se a serie
converge ou diverge?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que determinar se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Comparação. Vamos passo a passo entender isso melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento do termo geral da série, que é
. Quando
fica muito grande, o
no denominador se torna quase irrelevante comparado a
. Então, para
grande,
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, sabemos que a série
é a série harmônica, e ela diverge. A ideia do Teste da Comparação é comparar a nossa série com uma série conhecida para ver se ela também diverge ou converge.
Passo 4
Vamos comparar os termos das duas séries:
Então, temos que
. Sabemos que a série
é igual a
, que também é divergente porque é uma constante múltiplo da série harmônica.
Passo 5
Pelo Teste da Comparação, se uma série maior do que a nossa série conhecida diverge, então a nossa série também diverge. Como
diverge e
, concluímos que a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.