Determine se a serie
sumn=1^infty nn^2+1
converge ou diverge?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que determinar se a série
sumn=1^infty nn^2+1
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Comparação. Vamos passo a passo entender isso melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento do termo geral da série, que é . Quando fica muito grande, o no denominador se torna quase irrelevante comparado a . Então, para grande, se aproxima de .

Passo 3

Agora, sabemos que a série é a série harmônica, e ela diverge. A ideia do Teste da Comparação é comparar a nossa série com uma série conhecida para ver se ela também diverge ou converge.

Passo 4

Vamos comparar os termos das duas séries:
nn^2+1 >= nn^2+n^2 = n2n^2 = 12n
Então, temos que . Sabemos que a série é igual a , que também é divergente porque é uma constante múltiplo da série harmônica.

Passo 5

Pelo Teste da Comparação, se uma série maior do que a nossa série conhecida diverge, então a nossa série também diverge. Como diverge e , concluímos que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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