Determine se a serie
sumn=2^infty(-1)^n+1 1n ln n
converge ou diverge?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que é assim:
sumn=2^infty(-1)^n+1 1n ln n
O enunciado quer saber se essa série converge ou diverge. O conteúdo aqui envolve séries alternadas e vamos precisar usar o Teste da Série Alternada para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte que fica dentro da soma, que é . Essa é a nossa sequência . Como estamos lidando com uma série alternada ( alterna os sinais), vamos aplicar o Teste da Série Alternada.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que a série converge se:
  1. para todo .
  2. é decrescente.
  3. .
Vamos verificar cada um desses pontos.

Passo 4

1. limn to infty 1n ln n = 0 :
Olha só . Para , tanto quanto são positivos, então .
2. é decrescente:
Vamos ver se diminui conforme aumenta. À medida que cresce, tanto quanto aumentam, então o denominador cresce e, por consequência, diminui. Portanto, é decrescente.
3. :
Vamos calcular o limite:
Pois, conforme vai para o infinito, também vai para o infinito, fazendo tender a zero.

Passo 5

Como todos os três critérios do Teste da Série Alternada estão satisfeitos, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Série Alternada.

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