Determine se a serie
converge ou diverge?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que é assim:
O enunciado quer saber se essa série converge ou diverge. O conteúdo aqui envolve séries alternadas e vamos precisar usar o Teste da Série Alternada para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte que fica dentro da soma, que é
. Essa é a nossa sequência
. Como estamos lidando com uma série alternada (
alterna os sinais), vamos aplicar o Teste da Série Alternada.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que a série
converge se:
-
para todo . -
é decrescente. -
.
Vamos verificar cada um desses pontos.
Passo 4
1.
:
Olha só
. Para
, tanto
quanto
são positivos, então
.
2.
é decrescente:
Vamos ver se
diminui conforme
aumenta. À medida que
cresce, tanto
quanto
aumentam, então o denominador cresce e, por consequência,
diminui. Portanto,
é decrescente.
3.
:
Vamos calcular o limite:
Pois, conforme
vai para o infinito,
também vai para o infinito, fazendo
tender a zero.
Passo 5
Como todos os três critérios do Teste da Série Alternada estão satisfeitos, a série
converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Série Alternada.