Faça o esboço do gráfico da seguintes funções:
Passo 1
O enunciado define uma função por partes f(x) com três expressões diferentes em três intervalos de x e pede o esboço do gráfico. O conteúdo envolve reconhecimento de formas básicas (parábola e reta) e determinação de domínio de cada trecho.
Passo 2
Para x≤0 temos f(x)=1+x^2, que é uma parábola voltada para cima com vértice em (0,1). Marcamos esse vértice, desenhamos a curva para x<0 subindo simetricamente e fechamos o ponto em (0,1) porque inclui x=0.
Para 0<x≤2 temos f(x)=2−x, que é uma reta decrescente. Em x→0+ o valor tende a 2 (marcamos um círculo aberto em (0,2) porque x=0 não pertence a esse trecho). Em x=2, f(2)=0; marcamos ponto fechado em (2,0).
Para x>2 temos f(x)=(x−2)^2, que é outra parábola voltada para cima com vértice em (2,0). Desenhamos essa curva para x>2 e colocamos um círculo aberto em (2,0) porque x=2 não pertence a esse trecho.
Para 0<x≤2 temos f(x)=2−x, que é uma reta decrescente. Em x→0+ o valor tende a 2 (marcamos um círculo aberto em (0,2) porque x=0 não pertence a esse trecho). Em x=2, f(2)=0; marcamos ponto fechado em (2,0).
Para x>2 temos f(x)=(x−2)^2, que é outra parábola voltada para cima com vértice em (2,0). Desenhamos essa curva para x>2 e colocamos um círculo aberto em (2,0) porque x=2 não pertence a esse trecho.
Passo 3
Conectamos os três trechos no mesmo sistema de eixos: a parábola 1+x^2 para x≤0, a reta 2−x de (0,2) aberto até (2,0) fechado, e a parábola (x−2)^2 para x>2 com (2,0) aberto. Cada trecho é contínuo em si, mas há descontinuidades de valor nos pontos de peça.
Resposta
O gráfico é composto por três partes:
- Para x≤0, a parábola f(x)=1+x^2 com vértice em (0,1) e ponto fechado em (0,1).
- Para 0<x≤2, a reta decrescente f(x)=2−x, ligando (0,2) (aberto) a (2,0) (fechado).
- Para x>2, a parábola f(x)=(x−2)^2 com vértice em (2,0) e ponto aberto em (2,0).