Determine a série de Taylor para cada uma das funções f nos pontos c indicados. Diga também, em cada caso, se se trata ou não de uma função analítica em c.
f(x)=ln (1-x) ; c=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor para a função $ f(x) = \ln(1 - x) $ em torno de $ c = 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e derivadas. Vamos precisar lembrar como expandir funções em séries e verificar se a função é analítica em $ c = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico, que nesse caso é $ c = 0 $. A fórmula geral da série de Taylor para uma função $ f(x) $ em torno de $ c = 0 $ é:
c = 0
Onde $ f^{(n)}(0) $ é a n-ésima derivada de $ f $ avaliada em 0.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias de $ f(x) = \ln(1 - x) $ e avaliá-las em $ x = 0 $.
Primeira derivada:
f(x) = ln(1 - x)
Avaliada em 0:
x = 0
Segunda derivada:
f'(x) = -11 - x
Avaliada em 0:
f'(0) = -1
Terceira derivada:
f''(x) = -1(1 - x)^2
Avaliada em 0:
f''(0) = -1

Passo 4

Observando o padrão das derivadas, percebemos que a n-ésima derivada de $ f $ avaliada em 0 é:
f
Agora, substituímos na fórmula da série de Taylor:
f^(n)(0) = -(n - 1)!
Simplificando $ \frac{(n - 1)!}{n!} = \frac{1}{n} $, então:
f(x) = sumn=1^infty -(n - 1)!n! x^n

Passo 5

Portanto, a série de Taylor para $ f(x) = \ln(1 - x) $ em torno de $ c = 0 $ é:
f(x) = ln(1 - x)

Resposta

A série de Taylor para $ f(x) = \ln(1 - x) $ em torno de $ c = 0 $ é:
f(x) = ln(1 - x)
Além disso, $ f(x) $ é uma função analítica em $ c = 0 $, já que a série de Taylor converge para a função nesse ponto dentro do seu raio de convergência.

Exercícios relacionados