Determine a série de Taylor para cada uma das funções
nos pontos
indicados. Diga também, em cada caso, se se trata ou não de uma função analítica em
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor para a função $ f(x) = \ln(1 - x) $ em torno de $ c = 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e derivadas. Vamos precisar lembrar como expandir funções em séries e verificar se a função é analítica em $ c = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico, que nesse caso é $ c = 0 $. A fórmula geral da série de Taylor para uma função $ f(x) $ em torno de $ c = 0 $ é:
Onde $ f^{(n)}(0) $ é a n-ésima derivada de $ f $ avaliada em 0.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias de $ f(x) = \ln(1 - x) $ e avaliá-las em $ x = 0 $.
Primeira derivada:
Avaliada em 0:
Segunda derivada:
Avaliada em 0:
Terceira derivada:
Avaliada em 0:
Passo 4
Observando o padrão das derivadas, percebemos que a n-ésima derivada de $ f $ avaliada em 0 é:
Agora, substituímos na fórmula da série de Taylor:
Simplificando $ \frac{(n - 1)!}{n!} = \frac{1}{n} $, então:
Passo 5
Portanto, a série de Taylor para $ f(x) = \ln(1 - x) $ em torno de $ c = 0 $ é:
Resposta
A série de Taylor para $ f(x) = \ln(1 - x) $ em torno de $ c = 0 $ é:
Além disso, $ f(x) $ é uma função analítica em $ c = 0 $, já que a série de Taylor converge para a função nesse ponto dentro do seu raio de convergência.