Determine a série de Taylor para cada uma das funções
nos pontos
indicados. Diga também, em cada caso, se se trata ou não de uma função analítica em
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a série de Taylor para a função $ f(x) = \frac{1}{x} $ centrada no ponto $ c = 1 $. Além disso, temos que verificar se essa função é analítica em $ c = 1 $. Para resolver isso, vamos lembrar um pouco sobre séries de Taylor e funções analíticas. A série de Taylor nos permite aproximar uma função por uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função no ponto de expansão. Uma função é analítica em um ponto se sua série de Taylor converge para a função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ f(x) = \frac{1}{x} $ de uma forma que facilite a expansão em série de Taylor. Como estamos centrando em $ c = 1 $, vamos expressar $ x $ em relação a $ 1 $:
Passo 3
Agora, vamos utilizar a fórmula da série geométrica, que diz que:
Comparando isso com a nossa função, temos que $ t = -(x - 1) $. Assim:
Passo 4
Vamos simplificar um pouco mais a expressão:
Essa é a série de Taylor para $ f(x) = \frac{1}{x} $ centrada em $ c = 1 $.
Passo 5
Agora, precisamos verificar para quais valores de $ x $ essa série converge. Pela série geométrica, sabemos que a série converge quando $ |t| < 1 $. Substituindo $ t = -(x - 1) $:
Então, a série de Taylor que encontramos é válida para $ |x - 1| < 1 $.
Passo 6
Por fim, para determinar se $ f(x) $ é analítica em $ c = 1 $, verificamos se a série de Taylor converge para a função nesse ponto e em um entorno. Como encontramos a série que converge para $ f(x) $ quando $ |x - 1| < 1 $, podemos concluir que $ f(x) $ é analítica em $ c = 1 $.
Resposta
A série de Taylor para $ f(x) = \frac{1}{x} $ centrada em $ c = 1 $ é:
Além disso, $ f(x) $ é uma função analítica em $ c = 1 $.