Determine a série de Taylor para cada uma das funções
nos pontos
indicados. Diga também, em cada caso, se se trata ou não de uma função analítica em
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a série de Taylor para a função $ f(x) = \sin(x) $ no ponto $ c = \pi $. Além disso, vamos verificar se essa função é analítica nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo, como derivadas e séries de potências.
Passo 2
Primeiro, lembra o que é a série de Taylor? É uma maneira de aproximar uma função por uma soma infinita de termos que envolvem as derivadas da função no ponto $ c $. A fórmula geral da série de Taylor de $ f(x) $ em torno de $ c $ é:
Aqui, $ f^{(n)}© $ é a $ n $-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ c $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \sin(x) $ e avaliá-las em $ c = \pi $. Sabemos que as derivadas de $ \sin(x) $ são cíclicas:
E assim por diante, repetindo a cada quatro derivadas.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas em $ x = \pi $:
Perceba que as derivadas ímpares (primeira e terceira) resultam em números diferentes de zero, enquanto as pares são zero.
Passo 5
Com esses valores, podemos montar a série de Taylor. Substituindo na fórmula:
Vamos substituir os valores que calculamos:
Passo 6
Observando os termos, vemos que as derivadas pares são zero, então só precisamos considerar os termos ímpares:
Isso dá a série de Taylor para $ \sin(x) $ em torno de $ c = \pi $.
Passo 7
Agora, sobre a função ser analítica em $ c = \pi $. Uma função é analítica em um ponto se a sua série de Taylor converge para a função naquele ponto e em um intervalo ao redor dele. Como $ \sin(x) $ é uma função inteira (analítica em todo o
), ela é definitivamente analítica em $ c = \pi $.
Resposta
A série de Taylor para $ f(x) = \sin(x) $ no ponto $ c = \pi $ é:
Além disso, $ \sin(x) $ é uma função analítica em $ c = \pi $.