Determine a série de Taylor para cada uma das funções f nos pontos c indicados. Diga também, em cada caso, se se trata ou não de uma função analítica em c.
f(x)=sin x ; c=pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a série de Taylor para a função $ f(x) = \sin(x) $ no ponto $ c = \pi $. Além disso, vamos verificar se essa função é analítica nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo, como derivadas e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, lembra o que é a série de Taylor? É uma maneira de aproximar uma função por uma soma infinita de termos que envolvem as derivadas da função no ponto $ c $. A fórmula geral da série de Taylor de $ f(x) $ em torno de $ c $ é:
c
Aqui, $ f^{(n)}© $ é a $ n $-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ c $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \sin(x) $ e avaliá-las em $ c = \pi $. Sabemos que as derivadas de $ \sin(x) $ são cíclicas:
f(x) = sin(x)
E assim por diante, repetindo a cada quatro derivadas.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas em $ x = \pi $:
x = pi
Perceba que as derivadas ímpares (primeira e terceira) resultam em números diferentes de zero, enquanto as pares são zero.

Passo 5

Com esses valores, podemos montar a série de Taylor. Substituindo na fórmula:
sin(x) = sumn=0^infty f^(n)(pi)n! (x - pi)^n
Vamos substituir os valores que calculamos:
sin(x) = f(pi) + f'(pi)(x - pi) + f''(pi)2!(x - pi)^2 + f'''(pi)3!(x - pi)^3 + cdots
sin(x) = 0 - (x - pi) + 0 + 16(x - pi)^3 + cdots

Passo 6

Observando os termos, vemos que as derivadas pares são zero, então só precisamos considerar os termos ímpares:
sin(x) = - (x - pi) + (x - pi)^36 - (x - pi)^5120 + cdots
Isso dá a série de Taylor para $ \sin(x) $ em torno de $ c = \pi $.

Passo 7

Agora, sobre a função ser analítica em $ c = \pi $. Uma função é analítica em um ponto se a sua série de Taylor converge para a função naquele ponto e em um intervalo ao redor dele. Como $ \sin(x) $ é uma função inteira (analítica em todo o c = pi ), ela é definitivamente analítica em $ c = \pi $.

Resposta

A série de Taylor para $ f(x) = \sin(x) $ no ponto $ c = \pi $ é:
f(x) = sin(x)
Além disso, $ \sin(x) $ é uma função analítica em $ c = \pi $.

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