Determine a série de Taylor para cada uma das funções
nos pontos
indicados. Diga também, em cada caso, se se trata ou não de uma função analítica em
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a série de Taylor da função $ f(x) = \cos x $ no ponto $ c = \frac{\pi}{4} $. Além disso, vamos verificar se essa função é analítica nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender o que é série de Taylor e como construí-la para uma função em torno de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de aproximar funções usando polinômios. A série de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de um ponto $ c $ é dada por:
Aqui, $ f^{(n)}© $ representa a $ n $-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ c $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \cos x $ e avaliá-las no ponto $ c = \frac{\pi}{4} $. Sabemos que as derivadas de $ \cos x $ se repetem a cada 4 passos:
E assim por diante.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas em $ c = \frac{\pi}{4} $:
Passo 5
Observamos que as derivadas se repetem a cada 4 passos. Então, para montar a série de Taylor, vamos usar esses valores:
Simplificando, a série fica:
Passo 6
Para verificar se $ f(x) = \cos x $ é uma função analítica em $ c = \frac{\pi}{4} $, precisamos checar se a série de Taylor converge para $ f(x) $ em algum intervalo ao redor de $ c $. Sabemos que $ \cos x $ é uma função inteira, ou seja, é analítica em todo o seu domínio. Portanto, a série de Taylor que construímos converge para $ \cos x $ em todo lugar.
Resposta
A série de Taylor de $ f(x) = \cos x $ no ponto $ c = \frac{\pi}{4} $ é:
Além disso, $ \cos x $ é uma função analítica em $ c = \frac{\pi}{4} $.