Determine a série de Taylor para cada uma das funções f nos pontos c indicados. Diga também, em cada caso, se se trata ou não de uma função analítica em c.
f(x)=cos x ; c=pi / 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a série de Taylor da função $ f(x) = \cos x $ no ponto $ c = \frac{\pi}{4} $. Além disso, vamos verificar se essa função é analítica nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender o que é série de Taylor e como construí-la para uma função em torno de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de aproximar funções usando polinômios. A série de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de um ponto $ c $ é dada por:
f(x)
Aqui, $ f^{(n)}© $ representa a $ n $-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ c $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \cos x $ e avaliá-las no ponto $ c = \frac{\pi}{4} $. Sabemos que as derivadas de $ \cos x $ se repetem a cada 4 passos:
f(x) = cos x
E assim por diante.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas em $ c = \frac{\pi}{4} $:
c = pi4

Passo 5

Observamos que as derivadas se repetem a cada 4 passos. Então, para montar a série de Taylor, vamos usar esses valores:
f(x) = raiz22 + (-raiz22)(x - pi4) + (-raiz22)(x - pi4)^22! + (raiz22)(x - pi4)^33! + cdots
Simplificando, a série fica:
f(x) = raiz22 [ 1 - (x - pi4) - (x - pi4)^22! + (x - pi4)^33! + cdots ]

Passo 6

Para verificar se $ f(x) = \cos x $ é uma função analítica em $ c = \frac{\pi}{4} $, precisamos checar se a série de Taylor converge para $ f(x) $ em algum intervalo ao redor de $ c $. Sabemos que $ \cos x $ é uma função inteira, ou seja, é analítica em todo o seu domínio. Portanto, a série de Taylor que construímos converge para $ \cos x $ em todo lugar.

Resposta

A série de Taylor de $ f(x) = \cos x $ no ponto $ c = \frac{\pi}{4} $ é:
f(x) = cos x
Além disso, $ \cos x $ é uma função analítica em $ c = \frac{\pi}{4} $.

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