Determine a série de Taylor para cada uma das funções f nos pontos c indicados. Diga também, em cada caso, se se trata ou não de uma função analítica em c.
f(x)=e^x ; c=1.

Passo 1

O exercício pede para determinar a série de Taylor de f(x)=e^x em torno de c=1 e verificar se f é analítica nesse ponto. O conteúdo é séries de Taylor e vamos precisar das derivadas de e^x e do critério de convergência de séries de potências.

Passo 2

Como f(x)=e^x, todas as derivadas satisfazem f{(n)}(x)=ex. Logo, avaliando em x=1, temos f^{(n)}(1)=e para todo n. No desenvolvimento em Taylor, o coeficiente geral a_n é dado por f^{(n)}(1)/n! = e/n!.

Passo 3

Substituindo na fórmula da série de Taylor em torno de c=1, obtemos
$$
e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{f{(n)}(1)}{n!}(x-1)n = \sum_{n=0}^\infty \frac{e}{n!}(x-1)^n.
$$
Essa série de potências tem raio de convergência infinito, portanto converge para todo x e mostra que f é analítica em c=1.

Resposta

A série de Taylor de e^x em torno de c=1 é
sumn=0^infty en!(x-1)^n
e a função é analítica em c=1, pois o raio de convergência é infinito.

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