Determine a série de Taylor para cada uma das funções
nos pontos
indicados. Diga também, em cada caso, se se trata ou não de uma função analítica em
.
.
Passo 1
O exercício pede para determinar a série de Taylor de f(x)=e^x em torno de c=1 e verificar se f é analítica nesse ponto. O conteúdo é séries de Taylor e vamos precisar das derivadas de e^x e do critério de convergência de séries de potências.
Passo 2
Como f(x)=e^x, todas as derivadas satisfazem f{(n)}(x)=ex. Logo, avaliando em x=1, temos f^{(n)}(1)=e para todo n. No desenvolvimento em Taylor, o coeficiente geral a_n é dado por f^{(n)}(1)/n! = e/n!.
Passo 3
Substituindo na fórmula da série de Taylor em torno de c=1, obtemos
$$
e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{f{(n)}(1)}{n!}(x-1)n = \sum_{n=0}^\infty \frac{e}{n!}(x-1)^n.
$$
Essa série de potências tem raio de convergência infinito, portanto converge para todo x e mostra que f é analítica em c=1.
Essa série de potências tem raio de convergência infinito, portanto converge para todo x e mostra que f é analítica em c=1.
Resposta
A série de Taylor de e^x em torno de c=1 é
e a função é analítica em
, pois o raio de convergência é infinito.