Determine a série de Taylor de
em torno de
e o respectivo raio de convergência, para:
e
Passo 1
Então, temos a função
e queremos achar sua série de Taylor em torno de
, além do raio de convergência. O assunto é série de Taylor, e para resolver vamos usar a definição geral que envolve derivadas de
em
.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de série de Taylor de uma função
em torno de
:
Para aplicar essa fórmula, precisamos calcular as derivadas de
avaliadas em
.
Passo 3
Calculando o valor de
em 2:
Isso significa que o termo constante (coeficiente de
) é zero.
Passo 4
Agora, a primeira derivada e sua avaliação em 2:
Logo, o coeficiente de
também é zero.
Passo 5
Em seguida, a segunda derivada e sua avaliação em 2:
O coeficiente de
é
. Como é um polinômio de grau 2, todas as derivadas de ordem
são zero.
Passo 6
Substituindo na série de Taylor, só sobra o termo
:
Passo 7
Como a série é exatamente o polinômio
, ela converge para todo
. Portanto, o raio de convergência é infinito.
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é
e o raio de convergência é
.