Determine a série de Taylor de f em torno de a e o respectivo raio de convergência, para:
f(x)=(x-2)^2 e a=2

Passo 1

Então, temos a função f(x)=(x-2)^2 e queremos achar sua série de Taylor em torno de a=2, além do raio de convergência. O assunto é série de Taylor, e para resolver vamos usar a definição geral que envolve derivadas de f em a.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de série de Taylor de uma função f em torno de a:
f(x)=sumn=0^infty f^(n)(a)n!(x-a)^n
Para aplicar essa fórmula, precisamos calcular as derivadas de f avaliadas em x=a=2.

Passo 3

Calculando o valor de f em 2:
f(2)=(2-2)^2=0
Isso significa que o termo constante (coeficiente de (x-2)^0) é zero.

Passo 4

Agora, a primeira derivada e sua avaliação em 2:
f'(x)=2(x-2)
f'(2)=2cdot(2-2)=0
Logo, o coeficiente de (x-2)^1 também é zero.

Passo 5

Em seguida, a segunda derivada e sua avaliação em 2:
f''(x)=2
f''(2)=2
O coeficiente de (x-2)^2 é f''(2)/2!=2/2=1. Como é um polinômio de grau 2, todas as derivadas de ordem n>=3 são zero.

Passo 6

Substituindo na série de Taylor, só sobra o termo n=2:
f(x)=sumn=0^infty f^(n)(2)n!(x-2)^n=(x-2)^2

Passo 7

Como a série é exatamente o polinômio (x-2)^2, ela converge para todo x. Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série de Taylor de f em torno de a=2 é
f(x)=(x-2)^2
e o raio de convergência é R=infty.

Exercícios relacionados