Questão 2 (3 pontos) Encontre a soluçāo geral das equaçōes diferenciais
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial
Esse tipo de problema está no conteúdo de Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis e Equações Homogêneas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata ou se podemos simplificá-la usando uma substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma $ M(x, y), dx + N(x, y), dy = 0 $ é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $.
Aqui, temos:
- $ M(x, y) = 2xy $
- $ N(x, y) = y^2 - 3x^2 $
Calculando as derivadas parciais:
- $ \frac{\partial M}{\partial y} = 2x $
- $ \frac{\partial N}{\partial x} = -6x $
Como $ 2x \neq -6x $, a equação não é exata. Então, precisamos aplicar uma substituição.
Passo 3
Observando a equação, vemos que tanto $ M $ quanto $ N $ são funções homogêneas de grau 2:
- $ M = 2xy $ (grau 2: $ x^1 \cdot y^1 $)
- $ N = y^2 - 3x^2 $ (grau 2)
Quando a equação é homogênea, podemos usar a substituição $ v = \frac{y}{x} $. Vamos seguir esse caminho.
Passo 4
Fazendo a substituição $ v = \frac{y}{x} $, temos:
- $ y = v x $
- Derivando ambos os lados em relação a $ x $: $ dy = v, dx + x, dv $
Vamos substituir $ y $ e $ dy $ na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Fatorando $ x^2 $ na expressão:
Dividimos ambos os lados por $ x^2 $:
Expandindo os termos:
Agrupando os $ dx $:
Simplificando:
Passo 6
Vamos reorganizar para separar as variáveis $ v $ e $ x $:
Dividindo ambos os lados por $ x $:
Agora, isolamos as variáveis:
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Simplificando a integral do lado esquerdo:
Portanto:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Substituindo $ v = \frac{y}{x} $ de volta na equação:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Onde $ C’ $ é uma constante geral.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde $ C $ é uma constante arbitrária.