Questão 2 (3 pontos) Encontre a soluçāo geral das equaçōes diferenciais
2 x y d x+(y^2-3 x^2) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial
2xy, dx + (y^2 - 3x^2), dy = 0
Esse tipo de problema está no conteúdo de Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis e Equações Homogêneas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata ou se podemos simplificá-la usando uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma $ M(x, y), dx + N(x, y), dy = 0 $ é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $.
Aqui, temos:
  • $ M(x, y) = 2xy $
  • $ N(x, y) = y^2 - 3x^2 $
Calculando as derivadas parciais:
  • $ \frac{\partial M}{\partial y} = 2x $
  • $ \frac{\partial N}{\partial x} = -6x $
Como $ 2x \neq -6x $, a equação não é exata. Então, precisamos aplicar uma substituição.

Passo 3

Observando a equação, vemos que tanto $ M $ quanto $ N $ são funções homogêneas de grau 2:
  • $ M = 2xy $ (grau 2: $ x^1 \cdot y^1 $)
  • $ N = y^2 - 3x^2 $ (grau 2)
Quando a equação é homogênea, podemos usar a substituição $ v = \frac{y}{x} $. Vamos seguir esse caminho.

Passo 4

Fazendo a substituição $ v = \frac{y}{x} $, temos:
  • $ y = v x $
  • Derivando ambos os lados em relação a $ x $: $ dy = v, dx + x, dv $
Vamos substituir $ y $ e $ dy $ na equação original:
v = yx
Simplificando:
y = v x

Passo 5

Fatorando $ x^2 $ na expressão:
x^2
Dividimos ambos os lados por $ x^2 $:
2v x^2, dx + x^2(v^2 - 3)(v, dx + x, dv) = 0
Expandindo os termos:
x^2
Agrupando os $ dx $:
2v, dx + (v^2 - 3)(v, dx + x, dv) = 0
Simplificando:
2v, dx + v(v^2 - 3), dx + x(v^2 - 3), dv = 0

Passo 6

Vamos reorganizar para separar as variáveis $ v $ e $ x $:
v
Dividindo ambos os lados por $ x $:
x
Agora, isolamos as variáveis:
(v^3 - v), dx = -x(v^2 - 3), dv

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados da equação:
integral v^3 - vv^2 - 3, dv = -integral dxx
Simplificando a integral do lado esquerdo:
v^3 - vv^2 - 3 = v + 3vv^2 - 3
Portanto:
integral (v + 3vv^2 - 3), dv = -ln|x| + C
Integrando termo a termo:
v^22 + 32 ln|v^2 - 3| = -ln|x| + C

Passo 8

Substituindo $ v = \frac{y}{x} $ de volta na equação:
v = yx
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
12 (yx)^2 + 32 ln|(yx)^2 - 3| = -ln|x| + C
Onde $ C’ $ é uma constante geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
(yx)^2 + 3, ln|y^2x^2 - 3| = -2, ln|x| + C,
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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