Questão 3 (3 pontos) Encontre o fator integrante e a solução geral das equaçöes diferenciais
(1-x y) d x+(x y-x^2) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(1 - x y),dx + (x y - x^2),dy = 0,
que é do tipo M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. O conteúdo aqui é equações exatas e fator integrante.

Passo 2

Primeiro verificamos se a equação é exata, calculando as derivadas parciais:
M(x,y) = 1 - x y,
N(x,y) = x y - x^2,
partial Mpartial y = -x,
partial Npartial x = y - 2x
Como -x neq y - 2x), não é exata.

Passo 3

Para achar um fator integrante dependendo só de x, usamos a condição
partial M/partial y - partial N/partial xN = -x - (y - 2x)x y - x^2 = -1x,
que é função apenas de x. Logo o fator integrante é
mu(x) = expl(integral -tfrac1x,dxr) = x^-1

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(x)=x^-1, obtemos
l(tfrac1x-yr),dx + (y - x),dy = 0,
onde agora
tilde M = tfrac1x-y,
tilde N = y - x
são tais que
partial tilde Mpartial y = -1 = partial tilde Npartial x,
logo a equação ficou exata.

Passo 5

Para resolver, buscamos uma função potencial psi(x,y) com
partial psipartial x = tilde M = tfrac1x-y
Integrando em relação a x:
psi(x,y) = ln|x| - x y + h(y)
Depois, impomos
partial psipartial y = -x + h'(y) = tilde N = y - x,
de onde h'(y)=y e
h(y)=tfracy^22
Assim
psi(x,y) = ln|x| - x y + tfracy^22

Resposta

O fator integrante é mu(x)=x^-1 e a solução geral, em forma implícita, é
ln|x| - x y + y^22 = C

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