Considere a função
definida para
.
Verifique que
Verifique que
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo aqui é séries de potências e derivação termo a termo para verificar a equação diferencial
.
Passo 2
O termo geral da série é
. Como estamos dentro do raio de convergência, podemos derivar termo a termo. Aplicando
, obtemos a derivada primeira
Passo 3
Para a segunda derivada, derivamos termo a termo novamente. Usando
, segue
Passo 4
Agora, note que
. Assim,
Logo,
Passo 5
Fazendo a reindexação
, temos
Portanto,
, como desejado.
Resposta
Como demonstrado, a série satisfaz
.