Considere a função y(x)=sumn=0^infty(-1)^n (2 x)^2 n(2 n)! definida para x in R.
Verifique que y^prime prime(x)+4 y(x)=0

Passo 1

Temos a função y(x)=sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n(2n)!. O conteúdo aqui é séries de potências e derivação termo a termo para verificar a equação diferencial y''(x)+4y(x)=0.

Passo 2

O termo geral da série é an(x)=(-1)^n(2x)^2n(2n)!. Como estamos dentro do raio de convergência, podemos derivar termo a termo. Aplicando ddx(2x)^2n=4n(2x)^2n-1, obtemos a derivada primeira
y'(x)=sumn=0^infty(-1)^n4n,(2x)^2n-1(2n)!

Passo 3

Para a segunda derivada, derivamos termo a termo novamente. Usando ddx(2x)^2n-1=2(2n-1)(2x)^2n-2, segue
y''(x)=sumn=0^infty(-1)^n4ncdot2(2n-1),(2x)^2n-2(2n)!=sumn=1^infty(-1)^n8n(2n-1),(2x)^2n-2(2n)!

Passo 4

Agora, note que (2n)!=2n,(2n-1),(2n-2)!. Assim,
8n(2n-1)(2n)!=8n(2n-1)2n(2n-1)(2n-2)!=4(2n-2)!
Logo,
y''(x)=sumn=1^infty(-1)^n4,(2x)^2n-2(2n-2)!

Passo 5

Fazendo a reindexação k=n-1, temos
y''(x)=sumk=0^infty(-1)^k+14,(2x)^2k(2k)!=-4sumk=0^infty(-1)^k(2x)^2k(2k)!=-4y(x)
Portanto, y''(x)+4y(x)=0, como desejado.

Resposta

Como demonstrado, a série satisfaz y''(x)+4y(x)=0.

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