Determine a série de Taylor da função f com centro c
f(x)=\frac{1}{1-x}, c=2

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f com centro c. Informações fornecidas:
f(x)=\frac{1}{1-x},\qquad c=2.
Então a tarefa é escrever f(x) como uma série de potências em (x-2), isto é uma soma da forma \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-2)^n, e indicar a condição de convergência (raio de convergência / intervalo onde a série representa f).

Passo 2

Vou lembrar uma fórmula básica que vamos usar (é a ferramenta que resolve isso rapidinho): a série geométrica.
Se t é uma variável com |t|<1, então
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty} t^n.
Aqui t é a variável de expansão; a fórmula diz que podemos escrever a função racional \dfrac{1}{1-t} como uma soma infinita de potências de t sempre que |t|<1. Isso é fundamental porque nossa f é da mesma forma, só que com uma mudança de centro.

Passo 3

Para centrar a série em c=2 é conveniente introduzir a variável de deslocamento
u=x-2.
Assim x=2+u. Vou reescrever f em termos de u:
f(x)=\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-(2+u)}=\frac{1}{-1-u}=-\frac{1}{1+u}.
Expliquei passo a passo: substituí x por 2+u, simplifiquei 1-(2+u)=-1-u e fatorizei o sinal negativo.

Passo 4

Agora uso a série geométrica com t=-u, porque
\frac{1}{1+u}=\frac{1}{1-(-u)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-u)^n
desde que |-u|<1, ou seja |u|<1. Multiplicando por -1 (porque f(x)=-\dfrac{1}{1+u}) obtemos
f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty}(-u)^n=\sum_{n=0}^{\infty} \bigl(-1\bigr)\cdot(-1)^n u^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} u^n.
Repare na álgebra dos sinais: -1\cdot(-1)^n = (-1)^{n+1}.

Passo 5

Voltando à variável original x (lembrando que u=x-2), obtemos a série de Taylor centrada em 2:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}(x-2)^n.
A condição de validade veio da exigência |u|<1, isto é
|x-2|<1.
Isso significa que a série representa f(x) para x no intervalo aberto (1,3).

Passo 6

(Fazendo uma verificação rápida para ficar mais seguro) escrevo os primeiros termos da série:
f(x)=(-1)^{1}(x-2)^0+(-1)^{2}(x-2)^1+(-1)^{3}(x-2)^2+\cdots = -1+(x-2)-(x-2)^2+(x-2)^3-\cdots.
Em x=2 (ou seja u=0) isso dá f(2)=-1, que confere com \dfrac{1}{1-2}=-1. Bom sinal — a expansão faz sentido.

Passo 7

(Comentário sobre outro método: derivatives) Se preferir, dá para obter os mesmos coeficientes usando a fórmula de Taylor com derivadas centradas em 2:
f^{(n)}(x)=n!\,(1-x)^{-n-1},
portanto
\frac{f^{(n)}(2)}{n!}=(-1)^{n+1},
o que resulta na mesma série \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}(x-2)^n. Usei aqui que f(x)=(1-x)^{-1} e apliquei derivação repetida (pode ser provado por indução), e depois substituí x=2.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}(x-2)^n
|x-2|<1

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