Determine a série de Taylor da função
com centro
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
com centro
. Informações fornecidas:
Então a tarefa é escrever
como uma série de potências em
, isto é uma soma da forma
, e indicar a condição de convergência (raio de convergência / intervalo onde a série representa
).
Passo 2
Vou lembrar uma fórmula básica que vamos usar (é a ferramenta que resolve isso rapidinho): a série geométrica.
Se é uma variável com
, então
Se
Aqui
é a variável de expansão; a fórmula diz que podemos escrever a função racional
como uma soma infinita de potências de
sempre que
. Isso é fundamental porque nossa
é da mesma forma, só que com uma mudança de centro.
Passo 3
Para centrar a série em
é conveniente introduzir a variável de deslocamento
Assim
. Vou reescrever
em termos de
:
Expliquei passo a passo: substituí
por
, simplifiquei
e fatorizei o sinal negativo.
Passo 4
Agora uso a série geométrica com
, porque
desde que
, ou seja
. Multiplicando por
(porque
) obtemos
Repare na álgebra dos sinais:
.
Passo 5
Voltando à variável original
(lembrando que
), obtemos a série de Taylor centrada em
:
A condição de validade veio da exigência
, isto é
Isso significa que a série representa
para
no intervalo aberto
.
Passo 6
(Fazendo uma verificação rápida para ficar mais seguro) escrevo os primeiros termos da série:
Em
(ou seja
) isso dá
, que confere com
. Bom sinal — a expansão faz sentido.
Passo 7
(Comentário sobre outro método: derivatives) Se preferir, dá para obter os mesmos coeficientes usando a fórmula de Taylor com derivadas centradas em
:
portanto
o que resulta na mesma série
. Usei aqui que
e apliquei derivação repetida (pode ser provado por indução), e depois substituí
.