Use a expanssão em série da função cosseno paraobter uma representação em serie para o número \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para usar a expansão em série (Maclaurin) da função \cos x e, a partir dela, escrever uma representação em série para o número \tfrac{\sqrt{3}}{2}. Vamos precisar da série de potências de \cos x em torno de x=0 e da identidade trigonométrica \cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2.

Passo 2

A série de Maclaurin de \cos x é
\cos x \;=\; \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,\frac{x^{2n}}{(2n)!}.

Passo 3

Da trigonometria, sabemos que
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) \;=\;\frac{\sqrt{3}}{2}.
Logo, basta substituir x = \pi/6 na série acima.

Passo 4

Substituindo x=\pi/6 em \cos x, obtemos
\frac{\sqrt{3}}{2} =\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)^{2n}}{(2n)!}.

Resposta

\frac{\sqrt{3}}{2} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)^{2n}}{(2n)!}.

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