Determine a série de Taylor das funções dadas em torno do ponto x0. Determine, também, o raio de convergência da série:
(f) f(x)=cosh (-x), x0=0. Res: f(x)=sumn=0^infty x^2 n(2 n)! e rho=infty.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=cosh(-x) em torno de x0=0 e o raio de convergência. O conteúdo envolve expansão em série de Taylor (Maclaurin) e critérios de convergência.

Passo 2

Como o coseno hiperbólico é uma função par, vale cosh(-x)=cosh(x). Isso simplifica pois podemos usar a série conhecida de cosh(x).

Passo 3

Lembrando que a expansão de Maclaurin de cosh(x) é
cosh(x)=sumn=0^inftyx^2n(2n)!,
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cosh(-x)=sumn=0^inftyx^2n(2n)!

Passo 4

Para o raio de convergência, aplicamos o teste da razão nos coeficientes an=tfrac1(2n)!. Temos
limntoinfty|an+1an|=limntoinfty(2n)!(2n+2)!=limntoinfty1(2n+2)(2n+1)=0
Como esse limite é zero para todo x, o raio de convergência é infinito.

Resposta

f(x)=sumn=0^inftyx^2n(2n)! e rho=infty

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