Determine a série de Taylor das funções dadas em torno do ponto . Determine, também, o raio de convergência da série:
(f) . Res: e .
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de em torno de e o raio de convergência. O conteúdo envolve expansão em série de Taylor (Maclaurin) e critérios de convergência.
Passo 2
Como o coseno hiperbólico é uma função par, vale . Isso simplifica pois podemos usar a série conhecida de .
Passo 3
Lembrando que a expansão de Maclaurin de é
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Passo 4
Para o raio de convergência, aplicamos o teste da razão nos coeficientes . Temos
Como esse limite é zero para todo x, o raio de convergência é infinito.