Use as equaçōes de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funçōes dadas nos Exercs. 3 a 10 , qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada
. (Observe que esta derivada, quando existe, é dada por
.)
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a função complexa definida por
. O objetivo é usar as equações de Cauchy–Riemann para verificar se ela é analítica em algum domínio aberto de
e, em caso afirmativo, calcular
.
Passo 2
Identificação das partes real e imaginária e cálculo das derivadas parciais:
– Parte real:
– Parte imaginária:
Derivadas parciais:
,
,
– Parte real:
– Parte imaginária:
Derivadas parciais:
Passo 3
Aplicação das equações de Cauchy–Riemann:
As equações exigem
e
. Substituindo as derivadas:
implica
,
implica
.
Para um mesmo não há como ter simultaneamente
e
.
Logo não existe região aberta em que as equações sejam satisfeitas.
As equações exigem
Para um mesmo
Logo não existe região aberta em que as equações sejam satisfeitas.
Passo 4
Conclusão: Não há subdomínio aberto de
onde as equações de Cauchy–Riemann valham. Portanto, a função não é analítica em nenhum ponto e não possui derivada complexa holomorfa.
Resposta
A função não é analítica em nenhum domínio aberto de
e, portanto, não existe
.