Use as equaçōes de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funçōes dadas nos Exercs. 3 a 10 , qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada f^prime(z). (Observe que esta derivada, quando existe, é dada por partial f / partial x.)
w=e^y(cos x+i sen x).

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função complexa definida por w=e^y(,cos x + i,sin x). O objetivo é usar as equações de Cauchy–Riemann para verificar se ela é analítica em algum domínio aberto de C e, em caso afirmativo, calcular f'(z).

Passo 2

Identificação das partes real e imaginária e cálculo das derivadas parciais:
– Parte real: u(x,y)=e^ycos x
– Parte imaginária: v(x,y)=e^ysin x
Derivadas parciais:
ux=-e^ysin x, uy=e^ycos x
vx=e^ycos x, vy=e^ysin x

Passo 3

Aplicação das equações de Cauchy–Riemann:
As equações exigem
ux=vy e uy=-vx. Substituindo as derivadas:
-e^ysin x = e^ysin x implica sin x=0,
e^ycos x = -e^ycos x implica cos x=0.
Para um mesmo x não há como ter simultaneamente sin x=0 e cos x=0.
Logo não existe região aberta em que as equações sejam satisfeitas.

Passo 4

Conclusão: Não há subdomínio aberto de C onde as equações de Cauchy–Riemann valham. Portanto, a função não é analítica em nenhum ponto e não possui derivada complexa holomorfa.

Resposta

A função não é analítica em nenhum domínio aberto de C e, portanto, não existe f'(z).

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