Determine a série de Taylor gerada pela f em x=a
2.) f(x)=\frac{1}{1+x}, \quad a=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=\frac{1}{1+x} centrada em a=0, ou seja, a série de Maclaurin de f. Vamos usar a definição de série de Taylor e calcular as derivadas de f em zero para encontrar os coeficientes.

Passo 2

A definição de série de Taylor de f em a=0 é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n}.
Então precisamos achar f^{(n)}(0) para todo n.

Passo 3

Começamos com f(x)=(1+x)^{-1}. Por indução sobre n mostra-se que
f^{(n)}(x)=(-1)^{n}\,n!\,(1+x)^{-1-n}.
Em particular, em x=0 isso dá
f^{(n)}(0)=(-1)^{n}\,n!\,.

Passo 4

Substituindo na série de Maclaurin, temos
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\,n!}{n!}\,x^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}.
Essa é a expansão de uma série geométrica com razão -x, válida para \lvert x\rvert<1.

Resposta

\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n},\quad\text{para }\lvert x\rvert<1.

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