Achar uma representação por meio de séries de potências das seguintes funções e determine o intervalo de convergência.
8.)
8.)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma série de potências centrada em zero que represente
e determinar o intervalo de convergência. Vamos usar decomposição em frações parciais e, depois, expandir cada termo como série geométrica.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais de
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Para
vem
, logo
. Para
vem
, logo
. Portanto
Passo 3
Agora reescrevemos cada termo para usar a série geométrica. Primeiro,
Sabemos que
para
. Aqui
, então
válido para
.
Passo 4
Para o segundo termo,
Usamos a expansão
para
. Aqui
, logo
válido para
, ou seja
.
Passo 5
Somando as duas séries, temos
Cada série individual converge, respectivamente, em
e em
. Para a soma existir, precisamos da interseção desses intervalos, isto é
.
Resposta
A representação em série de potências centrada em zero é
com intervalo de convergência
.