Achar uma representação por meio de séries de potências das seguintes funções e determine o intervalo de convergência.
8.) f(x)=\frac{3 x}{x^{2}+x-2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma série de potências centrada em zero que represente
f(x)=\frac{3x}{x^2+x-2}
e determinar o intervalo de convergência. Vamos usar decomposição em frações parciais e, depois, expandir cada termo como série geométrica.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais de
\frac{3x}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+2), obtemos
3x = A(x+2) + B(x-1).
Para x=1 vem 3 = A\cdot3, logo A=1. Para x=-2 vem -6 = B\cdot(-3), logo B=2. Portanto
f(x) = \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+2}.

Passo 3

Agora reescrevemos cada termo para usar a série geométrica. Primeiro,
\frac{1}{x-1} = -\frac{1}{1-x}.
Sabemos que
\frac{1}{1 - r} = \sum_{n=0}^\infty r^n,
para |r|<1. Aqui r = x, então
-\frac{1}{1-x} = -\sum_{n=0}^\infty x^n,
válido para |x|<1.

Passo 4

Para o segundo termo,
\frac{2}{x+2} = \frac{2}{2\bigl(1 + \tfrac{x}{2}\bigr)} = \frac{1}{1 + \tfrac{x}{2}}.
Usamos a expansão
\frac{1}{1 + u} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n u^n,
para |u|<1. Aqui u = x/2, logo
\frac{1}{1 + \tfrac{x}{2}} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^n,
válido para \bigl|\tfrac{x}{2}\bigr|<1, ou seja |x|<2.

Passo 5

Somando as duas séries, temos
f(x) \;=\; -\sum_{n=0}^\infty x^n \;+\; \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^n \;=\; \sum_{n=0}^\infty\Bigl[(-1)^n2^{-n} - 1\Bigr]x^n.
Cada série individual converge, respectivamente, em |x|<1 e em |x|<2. Para a soma existir, precisamos da interseção desses intervalos, isto é |x|<1.

Resposta

A representação em série de potências centrada em zero é
f(x) = \sum_{n=0}^\infty\Bigl[(-1)^n2^{-n} - 1\Bigr]x^n,
com intervalo de convergência -1 < x < 1.

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