Determine a série de Taylor gerada pela f em x=a
3.) f(x)=\operatorname{sen}(3 x), \quad a=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=\operatorname{sen}(3x) centrada em a=0. Esse é um caso de série de Maclaurin, e vamos usar a definição
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n}.

Passo 2

Para aplicar a definição, calculamos algumas derivadas de f e avaliamos em 0: \displaystyle f(x)=\operatorname{sen}(3x), \displaystyle f'(x)=3\cos(3x), \displaystyle f''(x)=-9\operatorname{sen}(3x), \displaystyle f'''(x)=-27\cos(3x), \displaystyle f^{(4)}(x)=81\operatorname{sen}(3x),
e assim por diante, com período 4. Avaliando em x=0:
f(0)=0,\quad f'(0)=3,\quad f''(0)=0,\quad f'''(0)=-27,\quad f^{(4)}(0)=0,\dots

Passo 3

Na série de Maclaurin só aparecem termos de ordem ímpar, pois f^{(2k)}(0)=0. Para n=2k+1 temos
f^{(2k+1)}(0)=3^{2k+1}(-1)^k.
Logo o coeficiente de x^{2k+1} é
\frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!} =\frac{3^{2k+1}(-1)^k}{(2k+1)!}.

Resposta

\operatorname{sen}(3x) =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{3^{2k+1}}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}.

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