Determine o raio de convergência e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de potência convergem.
) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{2 n-1} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o conjunto de x para a série de potência
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{2n-1}x^n.
O conteúdo é séries de potência e usaremos o teste da raiz para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Aplicando o teste da raiz, consideramos
\lim_{n\to\infty}\bigl|a_n x^n\bigr|^{1/n} \quad\text{com}\quad a_n=\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{2n-1}.
Temos
\bigl|a_n x^n\bigr|^{1/n} =\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{\frac{2n-1}{n}}\;|x| =\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{2}\;\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{-1/n}\;|x|.
Como \tfrac{n}{2n+1}\to\tfrac12 e \bigl(\tfrac{n}{2n+1}\bigr)^{-1/n}\to1, resulta
\lim_{n\to\infty}\bigl|a_n x^n\bigr|^{1/n} =\frac14\,|x|.

Passo 3

Pela condição do teste da raiz, a série converge se
\frac14\,|x|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<4.
Logo o raio de convergência é
R = 4.

Passo 4

Agora analisamos os extremos x=4 e x=-4. Para x=4, o termo geral vale
a_n\,4^n =\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{2n-1}4^n.
Usando a expansão assintótica \bigl(\tfrac{n}{2n+1}\bigr)^{2n}\sim (1/4)^n e^{-1} e \frac{n}{2n+1}\sim\tfrac12, obtém-se
a_n\,4^n\sim 2e^{-1}\quad\text{quando }n\to\infty.
Como o termo geral não tende a zero, a série diverge em x=4.

Passo 5

Para x=-4, o módulo dos termos é o mesmo e alterna de sinal, mas também não tende a zero. Portanto diverge em x=-4.

Resposta

O raio de convergência é R=4 e a série converge exatamente para
-4 < x < 4.

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