Verificar as seguintes igualdades:
1.) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n 2^{n}}=\ln \left(\frac{3}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n2^{n}}
converge e vale \ln\!\bigl(\tfrac32\bigr). Vamos usar a série de Taylor para \ln(1+x).

Passo 2

Sabemos que, para |x|<1, vale a expansão
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}.

Passo 3

Tomando x=\tfrac12 nessa expansão, obtemos
\ln\!\Bigl(1+\tfrac12\Bigr) =\ln\!\bigl(\tfrac32\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(1/2)^{n}}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n2^{n}}.

Passo 4

Como (-1)^{n-1}=(-1)^{n+1} (já que (-1)^2=1), a série acima pode ser reescrita exatamente como
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n2^{n}} =\ln\!\bigl(\tfrac32\bigr).

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n2^{n}}=\ln\!\bigl(\tfrac32\bigr).

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