1. Determine a série de Taylor T_{a} f(x) da função f(x) em torno do ponto x=a e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade T_{a} f=f.
(i) f(x)=\cos \left(x+\frac{\pi}{8}\right) em torno de a=\frac{\pi}{8}.
(i) f(x)=\cos (x-\underline{\pi}) em torno de a=\underline{\pi}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Para cada função é pedido:
    1. a série de Taylor T_{a}f(x) em torno de x=a;
    2. o raio de convergência da série;
    3. decidir se vale a igualdade T_{a}f=f.
  • Os casos:
    (i) f(x)=\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right) em torno de a=\dfrac{\pi}{8}.
    (ii) f(x)=\cos(x-\pi) em torno de a=\pi.

Passo 2

Breve lembrete-metodinho prático (sem pânico): para encontrar a série de Taylor centrada em a é muito conveniente fazer a mudança h=x-a e expandir f(a+h) em potência de h (isso transforma a expansão em torno de a numa expansão em torno de 0, que é a forma padrão das séries de seno e cosseno). A fórmula geral da série de Taylor é
T_a f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n,
mas aqui será mais curto e didático usar identidades trigonométricas e as séries conhecidas de \cos e \sin:
\cos h=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{h^{2k}}{(2k)!},\qquad \sin h=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{h^{2k+1}}{(2k+1)!},
ambas com raio de convergência infinito. Vou aplicar isso em cada caso.

Passo 3

Faça h=x-a=x-\dfrac{\pi}{8}. Então
f(a+h)=\cos\!\Big(a+h+\frac{\pi}{8}\Big).
Como a=\dfrac{\pi}{8}, temos a+\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\pi}{4}. Logo
f(a+h)=\cos\!\Big(h+\frac{\pi}{4}\Big).
Use a fórmula de adição de ângulos \cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v:
\cos\!\Big(h+\frac{\pi}{4}\Big)=\cos\frac{\pi}{4}\cos h-\sin\frac{\pi}{4}\sin h.
Sabendo \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, fica
f(a+h)=\frac{\sqrt{2}}{2}\bigl(\cos h-\sin h\bigr).
Agora substitua as séries de \cos h e \sin h:
\cos h=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{h^{2k}}{(2k)!},\qquad \sin h=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{h^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Portanto, escrevendo em termos de x (lembrando h=x-a=x-\tfrac{\pi}{8}),
\boxed{\,T_{a}f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(x-\frac{\pi}{8})^{2k}}{(2k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(x-\frac{\pi}{8})^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)\, }.
Como expressão alternativa, exibindo os primeiros termos,
T_a f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigl(1-(x-a)-\frac{(x-a)^2}{2}+\frac{(x-a)^3}{6}+\frac{(x-a)^4}{24}-\cdots\Bigr),
com a=\dfrac{\pi}{8}, para dar uma ideia concreta dos coeficientes.

Passo 4

As séries de \cos h e \sin h têm raio de convergência infinito (são séries de potências que convergem para todo h\in\mathbb{R}). Multiplicando e somando essas séries obtém-se uma série com mesmo raio de convergência infinito. Logo o raio de convergência do T_a f acima é \infty.
Além disso, \cos e \sin são funções analíticas (entire), então a série de Taylor centrada em qualquer ponto converge para a própria função para todo x. Portanto a igualdade T_a f=f vale para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Faça h=x-a=x-\pi. Então
f(a+h)=\cos\big(a+h-\pi\big).
Como a=\pi, tem-se a-\pi=0, logo
f(a+h)=\cos h.
Assim a série de Taylor em torno de a=\pi é simplesmente a série de \cos h em h=x-\pi:
\boxed{\,T_{a}f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(x-\pi)^{2k}}{(2k)!}\, }.
Os primeiros termos são 1-\dfrac{(x-\pi)^2}{2!}+\dfrac{(x-\pi)^4}{4!}-\cdots.

Passo 6

A série de \cos h tem raio de convergência infinito, logo aqui também o raio é \infty. Como antes, por \cos ser analítica, a série de Taylor converge para f em todo \mathbb{R}; portanto T_a f=f para todo x.

Resposta

(i) T_{a}f(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\displaystyle\left(\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{\bigl(x-\tfrac{\pi}{8}\bigr)^{2k}}{(2k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{\bigl(x-\tfrac{\pi}{8}\bigr)^{2k+1}}{(2k+1)!}\right);\quad raio de convergência: \infty;\quad T_a f=f: sim.\n
(ii) T_{a}f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(x-\pi)^{2k}}{(2k)!};\quad raio de convergência: \infty;\quad T_a f=f: sim.

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