1. Verifique se as séries alternadas a seguir convergem ou divergem
a) \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^{2}+7}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{1}{n^{2}+7}
converge ou diverge. Informações dadas e coisas que podemos extrair imediatamente:
  • O termo geral (em módulo) é \displaystyle a_n=\frac{1}{n^{2}+7}, que é positivo para todo n\ge 1.
  • A série é alternada porque aparece o fator (-1)^{n-1}.
  • A pergunta é: a série converge? Se sim, converge condicionalmente ou absolutamente?

Passo 2

Verificar o limite dos termos \displaystyle a_n=\frac{1}{n^{2}+7} quando n\to\infty.
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{2}+7}=0.
Explicação didática: conforme n cresce, n^{2}+7 cresce sem limite, então a fração com numerador fixo 1 tende a zero. Em provas, basta lembrar que polinômios de grau maior no denominador fazem a fração ir a zero.

Passo 3

Mostrar que \displaystyle (a_n)_{n\ge1} é monotonicamente decrescente, isto é, a_{n+1}<a_n para todo n\ge1.
Compare diretamente:
a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{2}+7},\qquad a_n=\frac{1}{n^{2}+7}.
Como (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1>n^{2}, segue que (n+1)^{2}+7>n^{2}+7. Invertendo ambos os lados positivos,
\frac{1}{(n+1)^{2}+7}<\frac{1}{n^{2}+7},
ou seja a_{n+1}<a_n. Em prova, essa comparação simples entre denominadores é o caminho mais rápido.

Passo 4

Aplicar o Teste de Leibniz (teste da série alternada). Enunciado do teste (explicado de forma prática):
  • Se (a_n) é uma sequência de números positivos tal que a_{n+1}\le a_n para todo n (monótona não crescente) e \lim_{n\to\infty} a_n=0, então a série alternada \sum (-1)^{n-1}a_n converge.
    Intuição curta: os termos positivos e negativos vão alternando e decrescendo em magnitude até zero, fazendo as somas parciais ficarem “trancadas” entre dois limites próximos.
Aqui verificamos nos Passos 2 e 3 que \displaystyle a_n=\frac{1}{n^{2}+7} satisfaz as hipóteses do teste (positiva, decrescente e tende a zero). Portanto, pela conclusão do teste:
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{1}{n^{2}+7}\quad\text{converge.}

Passo 5

Verificar convergência absoluta (para saber se a convergência é absoluta ou condicional). Consideramos a série das moduli:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\;(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{2}+7}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+7}.
Usamos comparação com a série p:
  • Para todo n\ge1 tem-se \displaystyle n^{2}+7\ge n^{2}, logo
\frac{1}{n^{2}+7}\le\frac{1}{n^{2}}.
  • A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é uma série p com p=2>1, portanto converge.
    Pelo teste da comparação (termos não-negativos), como \frac{1}{n^{2}+7}\le\frac{1}{n^{2}} e a série maior converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+7}
converge também.

Passo 6

Conclusão final combinando os resultados:
  • A série alternada converge pelo Teste de Leibniz.
  • A série dos módulos converge por comparação com a série p de expoente 2.
    Logo a série original converge de maneira absoluta. Lembrete prático para a prova: se a série das absolutas converge, diz-se que a série converge absolutamente — isso é mais forte que apenas convergência alternada.

Resposta

Converge absolutamente (logo converge).

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