- Verifique se as séries alternadas a seguir convergem ou divergem
a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. Informações dadas e coisas que podemos extrair imediatamente:
- O termo geral (em módulo) é
, que é positivo para todo . - A série é alternada porque aparece o fator
. - A pergunta é: a série converge? Se sim, converge condicionalmente ou absolutamente?
Passo 2
Verificar o limite dos termos
quando
.
Explicação didática: conforme
cresce,
cresce sem limite, então a fração com numerador fixo
tende a zero. Em provas, basta lembrar que polinômios de grau maior no denominador fazem a fração ir a zero.
Passo 3
Mostrar que
é monotonicamente decrescente, isto é,
para todo
.
Compare diretamente:
Compare diretamente:
Como
, segue que
. Invertendo ambos os lados positivos,
ou seja
. Em prova, essa comparação simples entre denominadores é o caminho mais rápido.
Passo 4
Aplicar o Teste de Leibniz (teste da série alternada). Enunciado do teste (explicado de forma prática):
- Se
é uma sequência de números positivos tal que para todo (monótona não crescente) e , então a série alternada converge.
Intuição curta: os termos positivos e negativos vão alternando e decrescendo em magnitude até zero, fazendo as somas parciais ficarem “trancadas” entre dois limites próximos.
Aqui verificamos nos Passos 2 e 3 que
satisfaz as hipóteses do teste (positiva, decrescente e tende a zero). Portanto, pela conclusão do teste:
Passo 5
Verificar convergência absoluta (para saber se a convergência é absoluta ou condicional). Consideramos a série das moduli:
Usamos comparação com a série p:
- Para todo
tem-se , logo
- A série
é uma série p com , portanto converge.
Pelo teste da comparação (termos não-negativos), como e a série maior converge, segue que
converge também.
Passo 6
Conclusão final combinando os resultados:
- A série alternada converge pelo Teste de Leibniz.
- A série dos módulos converge por comparação com a série p de expoente
.
Logo a série original converge de maneira absoluta. Lembrete prático para a prova: se a série das absolutas converge, diz-se que a série converge absolutamente — isso é mais forte que apenas convergência alternada.
Resposta
Converge absolutamente (logo converge).