1. Verifique se as séries alternadas a seguir convergem ou divergem
b) \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{5^{n}}.
O que é pedido: verificar se a série converge ou diverge.
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
  • O termo geral é (-1)^{n-1}\dfrac{n}{5^{n}}.
  • A parte de módulo do termo é a_n=\dfrac{n}{5^{n}}, que é uma sequência positiva.

Passo 2

Vou testar primeiro a convergência absoluta (método padrão quando há fator alternante). Definição e ideia:
  • Uma série \sum b_n converge absolutamente se \sum |b_n| converge.
  • Se \sum |b_n| converge, então \sum b_n converge (convergência absoluta implica convergência).
Aqui b_n = (-1)^{n-1}\dfrac{n}{5^{n}}, logo |b_n|=a_n=\dfrac{n}{5^{n}}. Para \sum a_n uso o teste da razão (razão de Cauchy), que diz:
  • Se \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} existe e L<1, então \sum a_n converge absolutamente.
Calculo da razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{n+1}{5^{n+1}}}{\dfrac{n}{5^{n}}} = \frac{n+1}{5n}.
Agora o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{5n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1+\tfrac{1}{n}}{5} =\frac{1}{5}.
Como \dfrac{1}{5}<1, o teste da razão diz que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{5^{n}} converge. Portanto a série original converge absolutamente e, assim, converge.
Explicação curta do porquê: a raiz exponencial 5^{n} cresce muito mais rápido que o fator linear n, por isso n/5^n tende a zero rapidamente e os termos somados formam uma série convergente.

Passo 3

(Comentário adicional útil para prova) Alternativamente poderia usar o critério de Leibniz para séries alternadas: ele exige que a_n seja monotona decrescente (a partir de algum N) e \lim_{n\to\infty}a_n=0. Aqui
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{5n}<1\quad\text{para todo }n\ge1,
logo a_n é decrescente já desde n=1, e \lim_{n\to\infty}a_n=0. Assim a série alternada também satisfaria o teste de Leibniz e convergiria. Mas como já tivemos convergência absoluta, isso é ainda mais forte.

Passo 4

(Uma etapa extra: calcular a soma exata — útil em algumas provas.) Vamos somar a série explicitamente. Uso a identidade conhecida para |x|<1:
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}.
Derivação rápida dessa identidade: a série geométrica é \sum_{n=0}^\infty x^n=\dfrac{1}{1-x}. Diferenciando em x obtemos \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}=\dfrac{1}{(1-x)^2}, multiplicando por x resulta na fórmula acima.
Na nossa série temos um sinal alternante, então trate x=-\dfrac{1}{5}. Observe que
(-1)^{n-1}\frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5}\,n\left(-\frac{1}{5}\right)^{\,n-1}.
Logo a soma é
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5}\sum_{n=1}^{\infty} n\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}.
Aplicando a identidade com x=-\dfrac{1}{5}:
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1} = \frac{1}{\bigl(1-(-\tfrac{1}{5})\bigr)^2} = \frac{1}{\left(1+\tfrac{1}{5}\right)^2} = \frac{1}{\left(\tfrac{6}{5}\right)^2} = \frac{25}{36}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{5}:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5}\cdot\frac{25}{36}=\frac{5}{36}.

Passo 5

Conclusão curta e motivadora: a série converge absolutamente (portanto converge). Além disso, sua soma é \dfrac{5}{36}. Você está indo bem — identificar absolute convergence via teste da razão costuma ser o caminho mais direto em provas quando há fatores exponenciais!

Resposta

Converge absolutamente (logo converge). Soma =\dfrac{5}{36}.

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