- Verifique se as séries alternadas a seguir convergem ou divergem
b)
Passo 1
O enunciado nos dá a série
O que é pedido: verificar se a série converge ou diverge.
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
- O termo geral é
. - A parte de módulo do termo é
, que é uma sequência positiva.
Passo 2
Vou testar primeiro a convergência absoluta (método padrão quando há fator alternante). Definição e ideia:
- Uma série
converge absolutamente se converge. - Se
converge, então converge (convergência absoluta implica convergência).
Aqui
, logo
. Para
uso o teste da razão (razão de Cauchy), que diz:
- Se
existe e , então converge absolutamente.
Calculo da razão:
Agora o limite quando
:
Como
, o teste da razão diz que
converge. Portanto a série original converge absolutamente e, assim, converge.
Explicação curta do porquê: a raiz exponencial
cresce muito mais rápido que o fator linear
, por isso
tende a zero rapidamente e os termos somados formam uma série convergente.
Passo 3
(Comentário adicional útil para prova) Alternativamente poderia usar o critério de Leibniz para séries alternadas: ele exige que
seja monotona decrescente (a partir de algum
) e
. Aqui
logo
é decrescente já desde
, e
. Assim a série alternada também satisfaria o teste de Leibniz e convergiria. Mas como já tivemos convergência absoluta, isso é ainda mais forte.
Passo 4
(Uma etapa extra: calcular a soma exata — útil em algumas provas.) Vamos somar a série explicitamente. Uso a identidade conhecida para
:
Derivação rápida dessa identidade: a série geométrica é
. Diferenciando em
obtemos
, multiplicando por
resulta na fórmula acima.
Na nossa série temos um sinal alternante, então trate
. Observe que
Logo a soma é
Aplicando a identidade com
:
Multiplicando pelo fator
:
Passo 5
Conclusão curta e motivadora: a série converge absolutamente (portanto converge). Além disso, sua soma é
. Você está indo bem — identificar absolute convergence via teste da razão costuma ser o caminho mais direto em provas quando há fatores exponenciais!
Resposta
Converge absolutamente (logo converge). Soma
.