Determine a série de Taylor T_{a} f(x) da função f(x) em torno do ponto x=a e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade T_{a} f=f.
(J) J(x)=\cos \left(x-\frac{\ddot{4}}{4}\right) em torno ae a=\frac{\ddot{4}}{4}.
(k) f(x)=x^{2} \cos (2 x) em torno de a=0.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos:
Pedido para (J): determinar a série de Taylor T_{a}J(x) da função J(x)=\cos\!\left(x-\dfrac{\ddot{4}}{4}\right) em torno do ponto a=\dfrac{\ddot{4}}{4}, determinar o raio de convergência e decidir se vale T_{a}J=J.
Pedido para (k): determinar a série de Taylor T_{0}f(x) da função f(x)=x^{2}\cos(2x) em torno de a=0, determinar o raio de convergência e decidir se vale T_{0}f=f.
Informações relevantes dadas no enunciado:
Para (J): a função é um cosseno deslocado por a=\dfrac{\ddot{4}}{4}.
Para (k): a função é um polinômio x^{2} multiplicado por \cos(2x), pedido em torno de 0.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicando com calma):
Definição de série de Taylor de uma função g em torno de a:
Aqui g^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de g avaliada em a. Essa série é uma forma de escrever g como soma de potências de (x-a).
Raio de convergência: dada uma série de potências \sum c_n (x-a)^n, o raio R é o número tal que a série converge para |x-a|<R e diverge para |x-a|>R. Um método prático para encontrar R é o teste da razão (d’Alembert):
quando esse limite existe (ou usar raiz de n-ésimo termo).
Igualdade T_a g = g: nem toda função iguala sua série de Taylor; a igualdade vale quando a série de Taylor converge na vizinhança de a e a soma é exatamente g. Uma condição prática: se g é analítica (possui expansão em série de potências convergente para g numa vizinhança de a) então vale T_a g=g. Funções elementares como \cos e polinômios são analíticas em todo \mathbb{R} (na verdade são inteiras), logo suas séries de Taylor convergem para a função para todo x.
Passo 3
Resolução do item (J). Observação inicial útil: como o centro a coincide com o deslocamento da função, é natural fazer a substituição
u:=x-a=\;x-\dfrac{\ddot{4}}{4}.
Com isso J(x)=\cos(u) onde u=x-a. Agora uso a série de Maclaurin (Taylor em torno de 0) para \cos u:
Explicando por que essa forma: as derivadas ímpares de \cos em 0 são zero, as derivadas pares alternam sinais, e a fórmula padrão da série de Taylor para \cos em 0 dá a soma acima. Substituindo u=x-a obtemos a série em torno de a:
Para ver o raio de convergência, nota-se que é exatamente a mesma série de \cos em 0 mas trocando u por (x-a). A série de \cos tem raio de convergência infinito (é uma série de uma função inteira). Se quiser aplicar o teste da razão, para os coeficientes c_n não nulos (apenas nos termos pares) tem-se
o que também indica R=\infty. Sobre a igualdade T_a J=J: como \cos é uma função inteira (infinitamente diferenciável e analítica em todo \mathbb{R}), a série de Taylor converge para \cos(u) para todo u. Portanto, para todo x,
T_a J(x)=J(x).
Para ficar mais concreto, os primeiros termos da série são
Esse é já um desenvolvimento em série de potências centrado em 0. Posso reindexar se quiser, por exemplo colocando m=2n+2, mas a forma acima é clara: somente potências pares a partir de x^2.
Raio de convergência: como \cos(2x) é função inteira (analítica em todo \mathbb{R}), sua série tem raio R=\infty. Multiplicar por x^2 (polinômio) não reduz o raio de convergência, então a série resultante também tem R=\infty. Se usar o teste da razão nos coeficientes c_n:=(-1)^n\frac{2^{2n}}{(2n)!} dos termos x^{2n+2}, tem-se
Sobre a igualdade T_0 f=f: f é produto de um polinômio x^2 com \cos(2x), sendo ambos analíticos em todo \mathbb{R}; logo f é analítica em todo \mathbb{R} e a série de Taylor centrada em 0 converge para f(x) para todo x. Portanto T_0 f=f.
Para ficar explícito, os primeiros termos da série são (calculando alguns termos):