1. Determine a série de Taylor T_{a} f(x) da função f(x) em torno do ponto x=a e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade T_{a} f=f.
(J) J(x)=\cos \left(x-\frac{\ddot{4}}{4}\right) em torno ae a=\frac{\ddot{4}}{4}.
(k) f(x)=x^{2} \cos (2 x) em torno de a=0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pedido para (J): determinar a série de Taylor T_{a}J(x) da função J(x)=\cos\!\left(x-\dfrac{\ddot{4}}{4}\right) em torno do ponto a=\dfrac{\ddot{4}}{4}, determinar o raio de convergência e decidir se vale T_{a}J=J.
  • Pedido para (k): determinar a série de Taylor T_{0}f(x) da função f(x)=x^{2}\cos(2x) em torno de a=0, determinar o raio de convergência e decidir se vale T_{0}f=f.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Para (J): a função é um cosseno deslocado por a=\dfrac{\ddot{4}}{4}.
  • Para (k): a função é um polinômio x^{2} multiplicado por \cos(2x), pedido em torno de 0.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicando com calma):
  • Definição de série de Taylor de uma função g em torno de a:
T_a g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n.
Aqui g^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de g avaliada em a. Essa série é uma forma de escrever g como soma de potências de (x-a).
  • Raio de convergência: dada uma série de potências \sum c_n (x-a)^n, o raio R é o número tal que a série converge para |x-a|<R e diverge para |x-a|>R. Um método prático para encontrar R é o teste da razão (d’Alembert):
R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|
quando esse limite existe (ou usar raiz de n-ésimo termo).
  • Igualdade T_a g = g: nem toda função iguala sua série de Taylor; a igualdade vale quando a série de Taylor converge na vizinhança de a e a soma é exatamente g. Uma condição prática: se g é analítica (possui expansão em série de potências convergente para g numa vizinhança de a) então vale T_a g=g. Funções elementares como \cos e polinômios são analíticas em todo \mathbb{R} (na verdade são inteiras), logo suas séries de Taylor convergem para a função para todo x.

Passo 3

Resolução do item (J). Observação inicial útil: como o centro a coincide com o deslocamento da função, é natural fazer a substituição
u:=x-a=\;x-\dfrac{\ddot{4}}{4}.
Com isso J(x)=\cos(u) onde u=x-a. Agora uso a série de Maclaurin (Taylor em torno de 0) para \cos u:
\cos u=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{u^{2n}}{(2n)!}.
Explicando por que essa forma: as derivadas ímpares de \cos em 0 são zero, as derivadas pares alternam sinais, e a fórmula padrão da série de Taylor para \cos em 0 dá a soma acima. Substituindo u=x-a obtemos a série em torno de a:
T_a J(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-a)^{2n}}{(2n)!} \quad\text{com}\quad a=\dfrac{\ddot{4}}{4}.
Para ver o raio de convergência, nota-se que é exatamente a mesma série de \cos em 0 mas trocando u por (x-a). A série de \cos tem raio de convergência infinito (é uma série de uma função inteira). Se quiser aplicar o teste da razão, para os coeficientes c_n não nulos (apenas nos termos pares) tem-se
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(2n)!}{(2n+2)!}\right|\cdot 1 =0,
o que também indica R=\infty. Sobre a igualdade T_a J=J: como \cos é uma função inteira (infinitamente diferenciável e analítica em todo \mathbb{R}), a série de Taylor converge para \cos(u) para todo u. Portanto, para todo x,
T_a J(x)=J(x).
Para ficar mais concreto, os primeiros termos da série são
T_a J(x)=1-\frac{(x-a)^2}{2!}+\frac{(x-a)^4}{4!}-\cdots.

Passo 4

Resolução do item (k). Começo expandindo \cos(2x) em torno de 0. Use a substituição v:=2x. A série de Maclaurin de \cos v é
\cos v=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{v^{2n}}{(2n)!}.
Substituindo v=2x obtemos
\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}.
Agora multiplico por x^2 (porque f(x)=x^2\cos(2x)):
T_0 f(x)=x^2\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{2^{2n}x^{2n+2}}{(2n)!}.
Esse é já um desenvolvimento em série de potências centrado em 0. Posso reindexar se quiser, por exemplo colocando m=2n+2, mas a forma acima é clara: somente potências pares a partir de x^2.
Raio de convergência: como \cos(2x) é função inteira (analítica em todo \mathbb{R}), sua série tem raio R=\infty. Multiplicar por x^2 (polinômio) não reduz o raio de convergência, então a série resultante também tem R=\infty. Se usar o teste da razão nos coeficientes c_n:=(-1)^n\frac{2^{2n}}{(2n)!} dos termos x^{2n+2}, tem-se
\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| =\frac{2^{2(n+1)}}{(2n+2)!}\cdot\frac{(2n)!}{2^{2n}} =\frac{4}{(2n+2)(2n+1)}\xrightarrow[n\to\infty]{}0,
o que implica R=\infty.
Sobre a igualdade T_0 f=f: f é produto de um polinômio x^2 com \cos(2x), sendo ambos analíticos em todo \mathbb{R}; logo f é analítica em todo \mathbb{R} e a série de Taylor centrada em 0 converge para f(x) para todo x. Portanto T_0 f=f.
Para ficar explícito, os primeiros termos da série são (calculando alguns termos):
\cos(2x)=1-\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^4}{4!}-\cdots =1-2x^2+\frac{(2x)^4}{24}-\cdots
Multiplicando por x^2:
f(x)=x^2-2x^4+\frac{16}{24}x^6-\cdots = x^2-2x^4+\frac{2}{3}x^6-\cdots,
coincidindo com a fórmula geral \displaystyle (-1)^n\frac{2^{2n}x^{2n+2}}{(2n)!}.

Resposta

(J) \displaystyle T_{a}J(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\bigl(x-\dfrac{\ddot{4}}{4}\bigr)^{2n}}{(2n)!},\quad R=\infty,\quad T_{a}J=J.
(k) \displaystyle T_{0}f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{2^{2n}x^{2n+2}}{(2n)!},\quad R=\infty,\quad T_{0}f=f.

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