Determine a série de Taylor
da função
em torno do ponto
e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade
.
em torno de
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa determinar a série de Taylor $ T_{a} f(x) $ da função $ f(x) = e^{3x - 1} $ em torno do ponto $ a = 1 $. Além disso, vamos encontrar o raio de convergência dessa série e ver se a série de Taylor realmente é igual à função original $ f(x) $.
Para isso, vamos precisar entender o que é a série de Taylor, como calcular os termos dela e como determinar o raio de convergência. Não se preocupa, vou explicar cada parte passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de um ponto $ a $ é uma representação da função como uma soma infinita de termos derivados em $ a $. A fórmula geral é:
Onde:
- $ f^{(n)}(a) $ é a n-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ a $.
- $ n! $ é o fatorial de $ n $.
- $ (x - a)^n $ é a potência de $ (x - a) $.
Vamos usar essa fórmula para encontrar a série de Taylor da nossa função.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas da função $ f(x) = e^{3x - 1} $. Primeiro, notemos que a derivada de $ e^{u} $, onde $ u $ é uma função de $ x $, é $ e^{u} \cdot u’ $.
Então, a primeira derivada de $ f(x) $ é:
A segunda derivada será:
E assim por diante. Observamos um padrão: a n-ésima derivada é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada no ponto $ a = 1 $:
Substituindo na fórmula da série de Taylor:
Passo 5
Essa série que encontramos é uma série de potências reconhecível. Lembra da série de Taylor da função exponencial $ e^{y} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^{n}}{n!} $. Comparando com a nossa série:
Então, a série de Taylor realmente se iguala à função original.
Passo 6
Agora, vamos determinar o raio de convergência da série. Para séries de potências da forma $ \sum a_n (x - a)^n $, o raio de convergência $ R $ pode ser encontrado usando o critério da razão:
No nosso caso, $ a_n = \frac{3^{n} e^{2}}{n!} $. Então:
Tomando o limite quando $ n $ vai para infinito:
Isso significa que a série converge para todos os valores de $ x $, ou seja, o raio de convergência é infinito.
Resposta
A série de Taylor de $ f(x) = e^{3x - 1} $ em torno de $ a = 1 $ é igual à própria função $ f(x) $:
O raio de convergência dessa série é infinito, o que significa que a série converge para todo valor de $ x $. Portanto, em todos os casos, a igualdade $ T_{1} f = f $ vale.