Determine a série de Taylor Ta f(x) da função f(x) em torno do ponto x=a e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade Ta f=f.
f(x)=sen x+cos x em torno de a=pi6.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos a série de Taylor de f(x)=sin x+cos x em torno de a=tfracpi6. O conteúdo principal é usar a fórmula de Taylor e as propriedades das derivadas de sen e cos.

Passo 2

Recordando o Teorema de Taylor: para uma função infinitamente diferenciável temos
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(a)n!(x-a)^n
Logo precisamos calcular as derivadas de f e seus valores em x=a.

Passo 3

Calcular as derivadas de f:
A primeira derivada é
f'(x)=cos x-sin x,
a segunda é
f''(x)=-sin x-cos x=-f(x),
a terceira é
f'''(x)=-cos x+sin x=-f'(x)
e a quarta retorna a função inicial:
f''''(x)=f(x).
Isso mostra periodicidade de ordem 4.

Passo 4

Avaliar as derivadas em x=a=tfracpi6:
f(a)=sin(tfracpi6)+cos(tfracpi6)=tfrac12+tfracraiz32=tfrac1+raiz32,
f'(a)=cos(tfracpi6)-sin(tfracpi6)=tfracraiz32-tfrac12=tfracraiz3-12.
Pelos padrões de periodicidade,
se nbmod4=0 então f^(n)(a)=tfrac1+raiz32,
se nbmod4=1 então f^(n)(a)=tfracraiz3-12,
se nbmod4=2 então f^(n)(a)=-tfrac1+raiz32,
se nbmod4=3 então f^(n)(a)=-tfracraiz3-12.

Passo 5

Substituindo na fórmula de Taylor obtemos a série geral:
Ttfracpi6f(x)=sumk=0^inftyl[(1+raiz3)/2(4k)!(x-tfracpi6)^4k+(raiz3-1)/2(4k+1)!(x-tfracpi6)^4k+1-(1+raiz3)/2(4k+2)!(x-tfracpi6)^4k+2-(raiz3-1)/2(4k+3)!(x-tfracpi6)^4k+3r]

Passo 6

A função f é combinação linear de sen e cos, que são funções inteiras (analíticas em todo R). Portanto o raio de convergência é infinito, R=infty.

Passo 7

Como f é analítica em todo R, a série de Taylor converge para f(x) em qualquer x, logo vale a igualdade Ttfracpi6f(x)=f(x).

Resposta

A série de Taylor de f em torno de a=tfracpi6 é
Ttfracpi6f(x)=sumk=0^inftyl[(1+raiz3)/2(4k)!(x-tfracpi6)^4k+(raiz3-1)/2(4k+1)!(x-tfracpi6)^4k+1-(1+raiz3)/2(4k+2)!(x-tfracpi6)^4k+2-(raiz3-1)/2(4k+3)!(x-tfracpi6)^4k+3r]
O raio de convergência é R=infty e vale Ttfracpi6f(x)=f(x), pois f é analítica em todo R.

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