Determine a série de Taylor
da função
em torno do ponto
e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade
.
em torno de
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos a série de Taylor de
em torno de
. O conteúdo principal é usar a fórmula de Taylor e as propriedades das derivadas de sen e cos.
Passo 2
Recordando o Teorema de Taylor: para uma função infinitamente diferenciável temos
Logo precisamos calcular as derivadas de f e seus valores em
.
Passo 3
Calcular as derivadas de f:
A primeira derivada é
,
a segunda é
,
a terceira é
e a quarta retorna a função inicial:
.
Isso mostra periodicidade de ordem 4.
a segunda é
a terceira é
e a quarta retorna a função inicial:
Isso mostra periodicidade de ordem 4.
Passo 4
Avaliar as derivadas em
:
Pelos padrões de periodicidade,
se
então
,
se então
,
se então
,
se então
.
se
se
se
Passo 5
Substituindo na fórmula de Taylor obtemos a série geral:
Passo 6
A função f é combinação linear de sen e cos, que são funções inteiras (analíticas em todo
). Portanto o raio de convergência é infinito,
.
Passo 7
Como f é analítica em todo
, a série de Taylor converge para f(x) em qualquer x, logo vale a igualdade
.
Resposta
A série de Taylor de f em torno de
é
O raio de convergência é
e vale
, pois f é analítica em todo
.