Determine a série de Taylor
da função
em torno do ponto
e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade
.
em torno de
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a série de Taylor (Maclaurin) de
em torno de
, determinar o raio de convergência e decidir se
. Vamos usar conhecimento de séries de Taylor, em especial a expansão de
.
Passo 2
Começamos lembrando a expansão de Taylor de
em torno de
:
Passo 3
Substituindo
na série de
, obtemos:
Passo 4
Como
, basta multiplicar a série acima por
:
Passo 5
Para o raio de convergência, note que a série de
em
é inteira (raio
). A substituição
e a multiplicação por
não reduzem esse raio, então o raio de convergência continua sendo
.
Passo 6
Como
e
são funções inteiras, a série de Taylor encontrada converge para
para todo
. Logo vale a igualdade
.
Resposta
Raio de convergência:
. A igualdade
vale para todo
.