Determine a série de Taylor Ta f(x) da função f(x) em torno do ponto x=a e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade Ta f=f.
f(x)=x sen(x^2) em torno de a=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=xsin(x^2) em torno de a=0, determinar o raio de convergência e decidir se T0f=f. Vamos usar conhecimento de séries de Taylor, em especial a expansão de sin u.

Passo 2

Começamos lembrando a expansão de Taylor de sin u em torno de u=0:
sin(u)=sumn=0^infty(-1)^nu^2n+1(2n+1)!

Passo 3

Substituindo u=x^2 na série de sin(u), obtemos:
sin(x^2)=sumn=0^infty(-1)^n(x^2)^2n+1(2n+1)!=sumn=0^infty(-1)^nx^4n+2(2n+1)!

Passo 4

Como f(x)=xsin(x^2), basta multiplicar a série acima por x:
f(x)=xsin(x^2)=sumn=0^infty(-1)^nx^4n+3(2n+1)!

Passo 5

Para o raio de convergência, note que a série de sin(u) em u é inteira (raio infty). A substituição u=x^2 e a multiplicação por x não reduzem esse raio, então o raio de convergência continua sendo R=infty.

Passo 6

Como sin(x^2) e x são funções inteiras, a série de Taylor encontrada converge para f(x) para todo x. Logo vale a igualdade T0f(x)=f(x).

Resposta

T0f(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^4n+3(2n+1)!,
Raio de convergência: R=infty. A igualdade T0f(x)=f(x) vale para todo x.

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