Determine a série de Taylor
da função
em torno do ponto
e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade
.
em torno de
.
Passo 1
Vamos resumir: queremos a série de Taylor de f(x)=cos(x+π/8) em torno de a=π/8, encontrar o raio de convergência e decidir se a série realmente representa f.
Passo 2
Definimos h=x−a para centralizar em a e reescrevemos x+π/8. Como a=π/8, temos x+π/8=(x−π/8)+π/4=h+π/4. Usando a fórmula de adição de cosseno: cos(h+π/4)=cos h·cos π/4−sin h·sin π/4, isto é, f(x)=(cos h−sin h)/√2.
Passo 3
Agora lembramos as expansões de Maclaurin para cos h e sin h:
cos h=∑_{n=0}∞(−1)n h^{2n}/(2n)!
sin h=∑_{n=0}∞(−1)n h^{2n+1}/(2n+1)!
cos h=∑_{n=0}∞(−1)n h^{2n}/(2n)!
sin h=∑_{n=0}∞(−1)n h^{2n+1}/(2n+1)!
Passo 4
Substituímos essas séries em f(x)=(cos h−sin h)/√2 e agrupamos termos:
Passo 5
As séries de cos e sin têm raio de convergência infinito, logo este também é o raio de convergência de T_{a}f. Como f é função inteira (analítica em todo ℝ), a série de Taylor converge para f em todo lugar, portanto vale T_{a}f=f.
Resposta
O raio de convergência é R=∞ e a série converge para f(x) em todo x, logo T_{\pi/8}f=f.