Determine a série de Taylor Ta f(x) da função f(x) em torno do ponto x=a e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade Ta f=f.
f(x)=cos (x+pi8) em torno de a=pi8.

Passo 1

Vamos resumir: queremos a série de Taylor de f(x)=cos(x+π/8) em torno de a=π/8, encontrar o raio de convergência e decidir se a série realmente representa f.

Passo 2

Definimos h=x−a para centralizar em a e reescrevemos x+π/8. Como a=π/8, temos x+π/8=(x−π/8)+π/4=h+π/4. Usando a fórmula de adição de cosseno: cos(h+π/4)=cos h·cos π/4−sin h·sin π/4, isto é, f(x)=(cos h−sin h)/√2.

Passo 3

Agora lembramos as expansões de Maclaurin para cos h e sin h:
cos h=∑_{n=0}∞(−1)n h^{2n}/(2n)!
sin h=∑_{n=0}∞(−1)n h^{2n+1}/(2n+1)!

Passo 4

Substituímos essas séries em f(x)=(cos h−sin h)/√2 e agrupamos termos:
Taf(x)=1raiz2sumn=0^infty(-1)^nl((x-a)^2n(2n)!-(x-a)^2n+1(2n+1)!r)

Passo 5

As séries de cos e sin têm raio de convergência infinito, logo este também é o raio de convergência de T_{a}f. Como f é função inteira (analítica em todo ℝ), a série de Taylor converge para f em todo lugar, portanto vale T_{a}f=f.

Resposta

Tpi/8f(x)=1raiz2sumn=0^infty(-1)^nl((x-pi/8)^2n(2n)!-(x-pi/8)^2n+1(2n+1)!r)
O raio de convergência é R=∞ e a série converge para f(x) em todo x, logo T_{\pi/8}f=f.

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