Determine a série de Taylor Ta f(x) da função f(x) em torno do ponto x=a e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade Ta f=f.
f(x)=cos (x-pi4) em torno de a=pi4.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)= cos(x-pi4) em torno de a=pi4, o raio de convergência e se vale Ta f=f. Vamos usar o fato de que a expansão de cos t em torno de t=0 é bem conhecida.

Passo 2

Fazendo a mudança de variável t=x-pi4, obtemos f(x)=cos t com centro em t=0. Ou seja, identificar t para usar a série de Maclaurin de cos t.

Passo 3

Recordando a expansão de Maclaurin:
cos t = sumn=0^infty (-1)^n t^2n(2n)!
essa forma, a série converge para todo t (raio infinito).

Passo 4

Voltando à variável original, substituímos t=x-pi4 e obtemos
Taf(x)=sumn=0^infty(-1)^n(x-tfracpi4)^2n(2n)!
Como cos(x-tfracpi4) é função inteira, o raio de convergência é R=infty e a série converge exatamente para f(x), logo Ta f=f.

Resposta

Taf(x)=sumn=0^infty(-1)^n(x-tfracpi4)^2n(2n)!, R=infty, Ta f=f

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