Determine a série de Taylor
da função
em torno do ponto
e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade
.
em torno de
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=
em torno de
, o raio de convergência e se vale
. Vamos usar o fato de que a expansão de
em torno de
é bem conhecida.
Passo 2
Fazendo a mudança de variável
, obtemos
com centro em
. Ou seja, identificar
para usar a série de Maclaurin de
.
Passo 3
Recordando a expansão de Maclaurin:
essa forma, a série converge para todo
(raio infinito).
Passo 4
Voltando à variável original, substituímos
e obtemos
Como
é função inteira, o raio de convergência é
e a série converge exatamente para
, logo
.