Determine a série de Taylor Ta f(x) da função f(x) em torno do ponto x=a e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade Ta f=f.
f(x)=sen x cos x em torno de a=0.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(x)=sen x cos x em torno de a=0, achar o raio de convergência e decidir se a série coincide com a função (T₀f=f). Vamos precisar de identidade trigonométrica, da série de Taylor de sen u e do teste da razão.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo duplo:
sen xcos x=12sin(2x)
Isso simplifica a expansão, pois sabemos a série de sen u.

Passo 3

A Taylor de sin u em torno de u=0 é
sin u=sumn=0^infty(-1)^nu^2n+1(2n+1)!
Substituímos u=2x. Assim,
sin(2x)=sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n+1(2n+1)!
Multiplicando por 1/2 vem a série de f.

Passo 4

Multiplicando por 1/2 e simplificando 1/2cdot2^2n+1=2^2n obtemos
T0f(x)=sumn=0^infty(-1)^n2^2n(2n+1)!x^2n+1 = sumn=0^infty(-1)^n4^n(2n+1)!x^2n+1

Passo 5

Para o raio de convergência usamos o teste da razão ou notamos que sen(2x) é entera. O limite do teste da razão é 0, logo R=∞.

Passo 6

Como f(x)=½ sen(2x) é inteira (analítica em todo ℝ), sua série de Taylor converge para f(x) em todo x. Portanto vale T₀f=f.

Resposta

A série de Taylor em torno de 0 é:
T0f(x)=sumn=0^infty(-1)^n4^n(2n+1)!x^2n+1
O raio de convergência é R=∞ e, por f ser inteira, tem-se T₀f(x)=f(x) para todo x.

Exercícios relacionados