Determine a série de Taylor
da função
em torno do ponto
e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade
.
em torno de
.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(x)=sen x cos x em torno de a=0, achar o raio de convergência e decidir se a série coincide com a função (T₀f=f). Vamos precisar de identidade trigonométrica, da série de Taylor de sen u e do teste da razão.
Passo 2
Usamos a identidade de ângulo duplo:
Isso simplifica a expansão, pois sabemos a série de sen u.
Passo 3
A Taylor de
em torno de u=0 é
Substituímos u=2x. Assim,
Multiplicando por 1/2 vem a série de f.
Passo 4
Multiplicando por 1/2 e simplificando
obtemos
Passo 5
Para o raio de convergência usamos o teste da razão ou notamos que sen(2x) é entera. O limite do teste da razão é 0, logo R=∞.
Passo 6
Como f(x)=½ sen(2x) é inteira (analítica em todo ℝ), sua série de Taylor converge para f(x) em todo x. Portanto vale T₀f=f.
Resposta
A série de Taylor em torno de 0 é:
O raio de convergência é R=∞ e, por f ser inteira, tem-se T₀f(x)=f(x) para todo x.