Determine a série de Taylor Ta f(x) da função f(x) em torno do ponto x=a e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade Ta f=f.
f(x)=(x-5)^2 e^x em torno de a=5.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=(x−5)^2 e^x em torno de a=5, o raio de convergência dessa série e se vale T_5f=f. Vamos usar expansão da exponencial e reindexar para obter os coeficientes.

Passo 2

Definimos h=x−5, de modo que x=5+h. Então
f(x)=(x-5)^2 e^x=h^2 e^5+h=e^5,h^2 e^h

Passo 3

Sabemos que a série de Taylor da exponencial em torno de h=0 é
e^h=sumn=0^inftyh^nn!, válida para todo h. Multiplicando por h^2 e^5, obtemos
f(x)=e^5,h^2sumn=0^inftyh^nn!=e^5sumn=0^inftyh^n+2n!

Passo 4

Fazendo a mudança de índice k=n+2 leva a n=k−2, logo
T5f(x)=e^5sumk=2^infty(x-5)^k(k-2)!, com coeficientes a_0=a_1=0 e a_k=e^5/(k−2)! para k≥2.

Passo 5

A série de e^h tem raio de convergência infinito, logo R=∞. Como f(x) é função inteira (polinômio vezes exponencial), sua série de Taylor converge para f(x) em todo ℝ (ou ℂ).

Resposta

T5f(x)=e^5sumk=2^infty(x-5)^k(k-2)!, R=infty, T5f(x)=f(x) em todo o domínioí

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