Determine a série de Taylor
da função
em torno do ponto
e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade
.
em torno de
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=(x−5)^2 e^x em torno de a=5, o raio de convergência dessa série e se vale T_5f=f. Vamos usar expansão da exponencial e reindexar para obter os coeficientes.
Passo 2
Definimos h=x−5, de modo que x=5+h. Então
Passo 3
Sabemos que a série de Taylor da exponencial em torno de h=0 é
Passo 4
Fazendo a mudança de índice k=n+2 leva a n=k−2, logo
Passo 5
A série de e^h tem raio de convergência infinito, logo R=∞. Como f(x) é função inteira (polinômio vezes exponencial), sua série de Taylor converge para f(x) em todo ℝ (ou ℂ).