Usando séries, calcule as seguinte integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
F(x)=∫₀ˣ arctan(t²) dt
no intervalo |x|<1 usando séries de potências. Vamos usar a expansão em série de arctan(u) e depois integrar termo a termo.
F(x)=∫₀ˣ arctan(t²) dt
no intervalo |x|<1 usando séries de potências. Vamos usar a expansão em série de arctan(u) e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Sabemos que para |u|<1 vale a série
Aqui tomamos u=t², pois queremos arctan(t²).
Passo 3
Substituindo u=t² na série de arctan(u) obtemos
Essa série converge para |t²|<1, ou seja, |t|<1.
Passo 4
Agora integramos termo a termo de 0 até x:
Passo 5
Calculando a integral de cada termo:
Logo,
válido para |x|<1.