Usando séries, calcule as seguinte integrais definidas:
F(x)=integral0^x arctan (t^2) d t, |x|<1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função
F(x)=∫₀ˣ arctan(t²) dt
no intervalo |x|<1 usando séries de potências. Vamos usar a expansão em série de arctan(u) e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Sabemos que para |u|<1 vale a série
arctan(u)= sumn=0^infty(-1)^n u^2n+12n+1
Aqui tomamos u=t², pois queremos arctan(t²).

Passo 3

Substituindo u=t² na série de arctan(u) obtemos
arctan(t²)= sumn=0^infty(-1)^n t^4n+22n+1 ²
Essa série converge para |t²|<1, ou seja, |t|<1.

Passo 4

Agora integramos termo a termo de 0 até x:
F(x)=integral0^xarctan(t²),dt =integral0^xsumn=0^infty(-1)^n t^4n+22n+1,dt =sumn=0^infty(-1)^n 12n+1 integral0^x t^4n+2,dt ²

Passo 5

Calculando a integral de cada termo:
integral0^x t^4n+2,dt=x^4n+34n+3
Logo,
F(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^4n+3(2n+1)(4n+3),
válido para |x|<1.

Resposta

F(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^4n+3(2n+1)(4n+3), |x|<1

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