Determine a série de Taylor
da função
em torno do ponto
e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade
.
sen
em torno de
.
Passo 1
Temos a função f(x)=x² sen x cos x e queremos a série de Taylor em torno de a=0. O conteúdo aqui é séries de Taylor (Maclaurin) e vamos precisar do desenvolvimento em série de sen t e de identidades trigonométricas para simplificar o produto.
Passo 2
Usamos a identidade sen x cos x=½
. Logo
Passo 3
Sabemos que a série de Maclaurin de sen t é
Passo 4
Substituindo t=2x e multiplicando por x²/2, obtemos
Passo 5
O raio de convergência dessa série é ∞, pois deriva do sen(2x) que é inteira.
Como f é produto de funções inteiras, sua série de Maclaurin converge para f(x) em todo x. Portanto T₀f=f.
Como f é produto de funções inteiras, sua série de Maclaurin converge para f(x) em todo x. Portanto T₀f=f.
Resposta
A série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=x² sen x cos x em torno de 0 é:
O raio de convergência é R=∞. E de fato vale T₀f(x)=f(x) para todo x.