Determine a série de Taylor Ta f(x) da função f(x) em torno do ponto x=a e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade Ta f=f.
f(x)=x^2 sen x cos x em torno de a=0.

Passo 1

Temos a função f(x)=x² sen x cos x e queremos a série de Taylor em torno de a=0. O conteúdo aqui é séries de Taylor (Maclaurin) e vamos precisar do desenvolvimento em série de sen t e de identidades trigonométricas para simplificar o produto.

Passo 2

Usamos a identidade sen x cos x=½
sin(2x). Logo
f(x)=x^2,sin xcos x=x^22,sin(2x)

Passo 3

Sabemos que a série de Maclaurin de sen t é
sin t=sumn=0^infty(-1)^nt^2n+1(2n+1)!, R=infty

Passo 4

Substituindo t=2x e multiplicando por x²/2, obtemos
T0f(x)=x^22sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty(-1)^n2^2n(2n+1)!,x^2n+3

Passo 5

O raio de convergência dessa série é ∞, pois deriva do sen(2x) que é inteira.
Como f é produto de funções inteiras, sua série de Maclaurin converge para f(x) em todo x. Portanto T₀f=f.

Resposta

A série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=x² sen x cos x em torno de 0 é:
T0f(x)=sumn=0^infty(-1)^n2^2n(2n+1)!,x^2n+3
O raio de convergência é R=∞. E de fato vale T₀f(x)=f(x) para todo x.

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