Determine a série de Taylor
da função
em torno do ponto
e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade
.
em torno de
.
Passo 1
Temos
e queremos a expansão de Taylor em torno de
(ou série de Maclaurin) e o raio de convergência. Para resolver, vamos usar a série de Taylor de
e propriedades de séries de potências.
Passo 2
Sabemos que a série de Taylor de cosseno é dada por
Passo 3
Substituindo
na expansão acima, fica
Passo 4
Multiplicando essa expansão por
, obtemos a série de
:
Em termos explícitos, os primeiros termos são:
.
Passo 5
Para determinar o raio de convergência, aplicamos o critério da razão ou lembramos que a série de
converge para todo
. Multiplicar por
não altera o raio. Logo, o raio de convergência é
.
Passo 6
Como
é uma função inteira (analítica em todo
), a série de Taylor de
em torno de 0 converge para
em todo lugar. Ou seja,
.
Resposta
[\nT_0f(x)=\sum_{k=0}\infty(-1)k\frac{4k}{(2k)!},x{2k+2}.\n]\nO raio de convergência é
. Além disso, a série converge para a própria função, ou seja,
.