Determine a série de Taylor Ta f(x) da função f(x) em torno do ponto x=a e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade Ta f=f.
f(x)=x^2 cos (2 x) em torno de a=0.

Passo 1

Temos f(x)=x^2cos(2x) e queremos a expansão de Taylor em torno de a=0 (ou série de Maclaurin) e o raio de convergência. Para resolver, vamos usar a série de Taylor de cos(z) e propriedades de séries de potências.

Passo 2

Sabemos que a série de Taylor de cosseno é dada por
cos(z)=sumk=0^infty(-1)^kz^2k(2k)!

Passo 3

Substituindo z=2x na expansão acima, fica
cos(2x)=sumk=0^infty(-1)^k(2x)^2k(2k)!=sumk=0^infty(-1)^k4^k,x^2k(2k)!

Passo 4

Multiplicando essa expansão por x^2, obtemos a série de f(x):
x^2cos(2x)=sumk=0^infty(-1)^k4^k(2k)!,x^2k+2
Em termos explícitos, os primeiros termos são: x^2-4x^42!+16x^64!-cdots.

Passo 5

Para determinar o raio de convergência, aplicamos o critério da razão ou lembramos que a série de cos(2x) converge para todo x. Multiplicar por x^2 não altera o raio. Logo, o raio de convergência é R=infty.

Passo 6

Como f(x) é uma função inteira (analítica em todo R), a série de Taylor de f em torno de 0 converge para f(x) em todo lugar. Ou seja, T0f(x)=f(x).

Resposta

[\nT_0f(x)=\sum_{k=0}\infty(-1)k\frac{4k}{(2k)!},x{2k+2}.\n]\nO raio de convergência é R=infty. Além disso, a série converge para a própria função, ou seja, T0f(x)=f(x).

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