Determine se a série (a) verifica as condições (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
3 sumn=1^infty(-1)^n(1+e^-n)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
3sumn=1^infty(-1)^nl(1+e^-nr)
quanto ao teste das séries alternadas (Leibniz) e ver se ela converge ou diverge.

Passo 2

Identificamos o termo geral
an=3(-1)^nl(1+e^-nr)
e extraímos a parte positiva
bn=1+e^-n
Note que bn>0 para todo n.

Passo 3

Verificamos a condição (i): need-se que bn seja decrescente. Como
bn+1=1+e^-(n+1)<1+e^-n=bn,
está claro que bn é estritamente decrescente.

Passo 4

Verificamos a condição (ii): need-se que bnto0. Mas
limntoinftybn=limntoinfty(1+e^-n)=1+0=1neq0
Logo a condição (ii) falha.

Passo 5

Como o termo geral an não tende a zero (já que bnnotto0), pelo critério da divergência a série diverge.

Resposta

A série satisfaz a condição (i) mas não satisfaz a condição (ii) do teste das séries alternadas e, portanto, diverge.

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