Determine se a série (a) verifica as condições (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
4 sumn=1^infty(-1)^n e^2 n+1e^2 n

Passo 1

O enunciado pede para a série 4,sumn=1^infty(-1)^ne^2n+1e^2n verificar as condições do teste das séries alternadas (i) decrescência de bn e (ii) bnto0, e depois decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo é o teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Definimos o termo positivo associado à parte alternada como
bn = e^2n+1e^2n = 1 + e^-2n

Passo 3

Verificamos a condição (i): para todo n, temos
bn+1 = 1 + e^-2(n+1) = 1 + e^-2n-2 < 1 + e^-2n = bn,
logo bn é decrescente.

Passo 4

Agora a condição (ii):
limntoinfty bn = limntoinfty (1 + e^-2n) = 1 + 0 = 1 neq 0,
portanto a condição (ii) NÃO é satisfeita.

Passo 5

Como no teste de Leibniz é imprescindível que bnto0 para garantir convergência, concluímos que a série diverge.

Resposta

(a) satisfaz (i) mas não satisfaz (ii); (b) diverge.

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