Determine se a série (a) verifica as condições (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
9 sumn=2^infty(-1)^n nln n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série alternada
9sumn=2^infty(-1)^nnln n
satisfaz as duas condições do teste das séries alternadas (i) o termo geral sem o sinal deve ser decrescente e (ii) deve tender a zero, e depois decidir se converge ou diverge.

Passo 2

Definimos o termo positivo
bn=nln n
Para ver se bn é decrescente, estudamos a função contínua f(x)=x/ln x para x>1. Calculando a derivada temos
f'(x)=ln x-1(ln x)^2
Como ln x-1>0 para x>e, concluímos que f'(x)>0 e portanto bn é crescente para n>=3. Logo não satisfaz a condição (i).

Passo 3

Verificamos agora o limite de bn quando ntoinfty:
limntoinftynln n=infty,
portanto bn não tende a zero e falha também na condição (ii).

Resposta

A série diverge.

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