Determine se a série (a) verifica as condiçōes (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n ln nn

Passo 1

Estamos analisando a série alternada sumn=1^infty(-1)^nln nn. O conteúdo é o teste de séries alternadas (Crítério de Leibniz), que exige (i) que os termos bn=ln nn sejam positivamente decrescentes a partir de algum índice e (ii) que limntoinftybn=0.

Passo 2

Vamos verificar a condição (ii): calcular limntoinftyln nn. Usamos que o log cresce mais devagar que função linear, ou L’Hôpital:
limntoinftyln nn=limxtoinftyln xx=limxtoinfty1/x1=0
Agora a condição (i): mostrar que bn=ln nn é decrescente para n grande. Considere a função contínua f(x)=ln xx.

Passo 3

Seu derivado é
f'(x)=1-ln xx^2,
o que é negativo sempre que ln x>1, isto é, para x>e. Logo, para todo n>=3, bn+1. Ou seja, (bn) é decrescente a partir de n=3.

Passo 4

Como as duas condições do teste de séries alternadas estão satisfeitas, concluímos que a série converge.

Passo 5

Para ver se a convergência é absoluta, analisamos sumn=1^inftyln nn. Pelo teste da integral,
integral1^inftyln xx,dx=limAtoinfty(ln A)^22=infty,
logo sumln nn diverge, implicando divergência absoluta.

Passo 6

Portanto, a série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.

Resposta

A série satisfaz (i) termos positivos e decrescentes (para n>=3) e (ii) bnto0, logo converge pelo teste de séries alternadas. Não converge absolutamente, diverge a soma dos módulos.

Exercícios relacionados