Determine se a série (a) verifica as condiçōes (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
Passo 1
Estamos analisando a série alternada
. O conteúdo é o teste de séries alternadas (Crítério de Leibniz), que exige (i) que os termos
sejam positivamente decrescentes a partir de algum índice e (ii) que
.
Passo 2
Vamos verificar a condição (ii): calcular
. Usamos que o log cresce mais devagar que função linear, ou L’Hôpital:
Agora a condição (i): mostrar que
Passo 3
Seu derivado é
o que é negativo sempre que
, isto é, para
. Logo, para todo
,
. Ou seja,
é decrescente a partir de
.
Passo 4
Como as duas condições do teste de séries alternadas estão satisfeitas, concluímos que a série converge.
Passo 5
Para ver se a convergência é absoluta, analisamos
. Pelo teste da integral,
logo
Passo 6
Portanto, a série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.
Resposta
A série satisfaz (i) termos positivos e decrescentes (para
) e (ii)
, logo converge pelo teste de séries alternadas. Não converge absolutamente, diverge a soma dos módulos.