Determine se a Séries abaixo converge ou diverge. Em cada item indicar o teste que foi usado
sumn=2^infty raizn^4+1n^3+n^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=2^infty raizn^4+1n^3+n^2. O conteúdo é testes de convergência de séries e vamos usar o Teste da Comparação por Limites, comparando com a série harmônica.

Passo 2

Definimos an = raizn^4+1n^3+n^2 e escolhemos a comparanda bn = 1n. Calculamos o limite da razão entre an e bn:

Passo 3

L = limntoinfty anbn = limntoinfty raizn^4+1/(n^3+n^2)1/n = limntoinfty nraizn^4+1n^3+n^2 = limntoinfty n^3raiz1+1/n^4n^2(n+1) = limntoinfty nraiz1+1/n^4n+1 = 1

Passo 4

Como o limite L=1>0 é finito e a série sum bn = sum 1/n diverge (série harmônica), pelo Teste da Comparação por Limites concluímos que a série original diverge.

Resposta

Diverge pelo Teste da Comparação por Limites comparando com a série harmônica sum 1/n.

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