Encontre: 1) O domínio de f
2) Os intervalos de crescimento de f
3) Pontos críticos de f
4) Existência de retas assíntotas verticais e horizontais
5) Estude a existência de pontos mínimos e máximos locais e absolutos
6) Intervalos de concavidade de f para cima ou para baixo
7) Esboce o gráfico de f.
x^2raizx+2

Passo 1

A questão pede análise completa de f(x)=x^2/√(x+2): domínio, monotonicidade, pontos críticos, assíntotas, extremos, concavidade e esboço do gráfico. Vamos usar cálculo de derivadas (regra do produto e cadeia) e limite para assíntotas.

Passo 2

Para achar o domínio, note que temos √(x+2) no denominador. Precisamos de x+2>0 para não ficar divisão por zero nem raiz de negativo. Logo o domínio é x>-2.

Passo 3

Para monotonicidade, escrevemos f(x)=x2·(x+2){-1/2} e aplicamos a regra do produto e da cadeia:
f'(x)=2x,(x+2)^-1/2+x^2,l(-tfrac12r)(x+2)^-3/2=x, (3x+8)2,(x+2)^3/2
Como (x+2)^{3/2}>0 para x>-2, o sinal de f’ é o de x(3x+8). Mas 3x+8>0 em todo domínio, então f’<0 se x<0 e f’>0 se x>0. Assim f decresce em (-2,0) e cresce em (0,∞).

Passo 4

Pontos críticos são soluções de f’(x)=0 ou onde f’ não existe. Temos f’(x)=0⇔x(3x+8)=0, mas x=-8/3< -2 sai do domínio, sobrando x=0. Em x=-2 f’ não existe, mas x=-2 não pertence ao domínio. Portanto há só um ponto crítico em x=0.

Passo 5

Assíntotas verticais vêm de limites em que a função explode. Ao aproximar x→-2^+ temos x^2→4 e √(x+2)→0^+, então f(x)→+∞. Logo existe assíntota vertical x=-2. Para x→∞ obtemos f(x)∼x2/√x=x{3/2}→∞, sem assíntota horizontal nem oblíqua.

Passo 6

Para extremos, observe que f muda de decrescente para crescente em x=0. Logo há um mínimo local em x=0, com f(0)=0. Como f(x)>0 para todo x≠0, esse mínimo é também absoluto. Não há máximos (a função tende a +∞ nas extremidades do domínio).

Passo 7

Para concavidade, derivamos f’(x). De f’(x)=(3x2+8x)/[2(x+2){3/2}] obtemos
f''(x)=3x^2+16x+324,(x+2)^5/2
O discriminante de 3x^2+16x+32 é negativo, e o denominador é positivo em x>-2, logo f’’(x)>0 sempre. Assim f é côncava para cima em todo o domínio.

Passo 8

Para o esboço, reúna as informações: há assíntota vertical x=-2; de x=-2 até x=0 a curva desce de +∞ até (0,0); em x=0 tem mínimo; depois cresce indefinidamente; e é sempre côncava para cima.

Resposta

  1. Domínio: (-2, ∞)
  2. f decresce em (-2, 0) e cresce em (0, ∞)
  3. Ponto crítico: x=0
  4. Assíntota vertical: x = -2; sem assíntotas horizontais
  5. Mínimo local e absoluto em (0, 0); sem máximos
  6. f é côncava para cima em todo o domínio
  7. Gráfico: curva com assíntota vertical x=-2, decresce de +∞ até (0,0) onde atinge o mínimo, depois cresce para +∞, sempre côncava para cima.

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