Calcule a soma das séries abaixo.
sumn=1^infty 2 n+1n^2(n+1)^2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
S = sumn=1^infty 2n+1n^2(n+1)^2
O conteúdo principal aqui é série telescópica: vamos decompor o termo geral em frações simples, identificar que a soma telescopa e, em seguida, tirar o limite.

Passo 2

Fazendo a decomposição em frações parciais,
2n+1n^2(n+1)^2 = An + Bn^2 + Cn+1 + D(n+1)^2
Multiplicando ambos os lados por n^2(n+1)^2 e comparando coeficientes de potências de n, obtemos
A=0, B=1, C=0, D=-1.
Logo,
2n+1n^2(n+1)^2 = 1n^2 ;-; 1(n+1)^2

Passo 3

Escrevendo a soma parcial até N,
sumn=1^Nl(1n^2 - 1(n+1)^2r) = l(1 - tfrac12^2r) + l(tfrac12^2 - tfrac13^2r) + cdots + l(tfrac1N^2 - tfrac1(N+1)^2r)
Quase todos os termos intermediários cancelam, sobrando
sumn=1^Nl(1n^2 - 1(n+1)^2r) = 1 - 1(N+1)^2

Passo 4

Para obter a soma da série infinita, fazemos Ntoinfty. Como
tfrac1(N+1)^2to0,
ficamos com
S = limNtoinftyl(1 - 1(N+1)^2r) = 1

Resposta

1

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