Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre a soma da série, se possível.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Se converge, pede também para encontrar a soma, se isso for possível.
Informações relevantes dadas:
- A série é uma soma sobre
. - O termo geral é
. - Os termos são positivos para todo
.
Passo 2
Estratégia: comparar com uma série
-série conhecida, usando o teste da comparação-limite (limit comparison test). A ideia é observar o comportamento de
quando
é grande.
Para
grande temos
, então intuitivamente
A série
é uma
-série com
, portanto convergente. Vamos formalizar com o teste da comparação-limite.
Calcule o limite
Dividindo numerador e denominador por
,
O limite é um número finito e positivo (
), então pela comparação-limite a série
tem o mesmo comportamento que
. Como a
-série com
converge, concluímos que a série dada também converge.
Passo 3
Como todos os termos
são não negativos, a convergência acima implica convergência absoluta (não há diferença entre convergência e convergência absoluta neste caso). Portanto:
- A série
converge absolutamente.
Passo 4
Sobre a soma exata: nem sempre uma série que converge tem uma soma expressável em termos de funções elementares simples. Séries racionais desse tipo (frações racionais em
) frequentemente podem ser manipuladas por métodos avançados (análise complexa, soma por resíduos, ou expressões em termos de funções especiais como poligamma), mas o resultado costuma ser uma expressão complicada em funções especiais — não uma constante simples (como
multiplicado por um racional, por exemplo).
Portanto, não há uma soma “simples” elementar conhecida para
. Se for suficiente obter um valor numérico, podemos aproximar a soma de forma prática e controlada.
Passo 5
Aproximação numérica controlada (método prático que daria na prova se pedissem valor numérico rápido):
- Calcule alguns termos iniciais explicitamente (todos em notação decimal aproximada):
Somando esses oito primeiros termos obtemos uma aproximação parcial
- Estimativa do resto da série (cauda) por integral: para
a função é positiva e decrescente, logo
Fazendo a substituição
,
, obtemos
mas para uma estimativa mais precisa usamos o limite inferior de integração
(como feita tipicamente para aproximar séries pelo integral), obtendo um valor da ordem de
. Uma avaliação direta dá uma cauda da ordem de
.
Somando a parcial e a cauda estimada:
(A aproximação indicada tem precisão de algumas unidades na casa do
.)]
Resposta
Converge absolutamente; soma aproximada
(não possui forma elementar simples).