Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre a soma da série, se possível.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{\left(n^{2}+8\right)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{\left(n^{2}+8\right)^{4}}
converge ou diverge. Se converge, pede também para encontrar a soma, se isso for possível.
Informações relevantes dadas:
  • A série é uma soma sobre n=2,3,4,\dots.
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n}{(n^{2}+8)^{4}}.
  • Os termos são positivos para todo n\ge2.

Passo 2

Estratégia: comparar com uma série p-série conhecida, usando o teste da comparação-limite (limit comparison test). A ideia é observar o comportamento de a_n quando n é grande.
Para n grande temos (n^{2}+8)^{4}\sim n^{8}, então intuitivamente
a_n=\frac{n}{(n^{2}+8)^{4}}\sim\frac{n}{n^{8}}=\frac{1}{n^{7}}.
A série \sum 1/n^{7} é uma p-série com p=7>1, portanto convergente. Vamos formalizar com o teste da comparação-limite.
Calcule o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n^{7}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{(n^{2}+8)^{4}}\cdot n^{7} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{8}}{(n^{2}+8)^{4}}.
Dividindo numerador e denominador por n^{8},
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\bigl(1+\tfrac{8}{n^{2}}\bigr)^{4}}=1.
O limite é um número finito e positivo ( =1), então pela comparação-limite a série \sum a_n tem o mesmo comportamento que \sum 1/n^{7}. Como a p-série com p=7 converge, concluímos que a série dada também converge.

Passo 3

Como todos os termos a_n são não negativos, a convergência acima implica convergência absoluta (não há diferença entre convergência e convergência absoluta neste caso). Portanto:
  • A série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{(n^{2}+8)^{4}} converge absolutamente.

Passo 4

Sobre a soma exata: nem sempre uma série que converge tem uma soma expressável em termos de funções elementares simples. Séries racionais desse tipo (frações racionais em n) frequentemente podem ser manipuladas por métodos avançados (análise complexa, soma por resíduos, ou expressões em termos de funções especiais como poligamma), mas o resultado costuma ser uma expressão complicada em funções especiais — não uma constante simples (como \pi multiplicado por um racional, por exemplo).
Portanto, não há uma soma “simples” elementar conhecida para
\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{n}{(n^{2}+8)^{4}}. Se for suficiente obter um valor numérico, podemos aproximar a soma de forma prática e controlada.

Passo 5

Aproximação numérica controlada (método prático que daria na prova se pedissem valor numérico rápido):
  • Calcule alguns termos iniciais explicitamente (todos em notação decimal aproximada):
\begin{aligned} a_2&=\frac{2}{12^{4}}=\frac{2}{20736}\approx 9{,}645\times10^{-5},\\[4pt] a_3&=\frac{3}{17^{4}}=\frac{3}{83521}\approx 3{,}592\times10^{-5},\\[4pt] a_4&=\frac{4}{24^{4}}=\frac{4}{331776}\approx 1{,}205\times10^{-5},\\[4pt] a_5&=\frac{5}{33^{4}}\approx 4{,}215\times10^{-6},\\[4pt] a_6&\approx 1{,}602\times10^{-6},\quad a_7\approx 6{,}632\times10^{-7},\quad a_8\approx 2{,}976\times10^{-7}. \end{aligned}
Somando esses oito primeiros termos obtemos uma aproximação parcial
S_{2}^{8}=\sum_{n=2}^{8}a_n\approx 1{,}512\times10^{-4}.
  • Estimativa do resto da série (cauda) por integral: para x\ge2 a função f(x)=\dfrac{x}{(x^{2}+8)^{4}} é positiva e decrescente, logo
\sum_{n=9}^{\infty}a_n \le \int_{8}^{\infty}\frac{x}{(x^{2}+8)^{4}}\,dx.
Fazendo a substituição u=x^{2}+8, du=2x\,dx, obtemos
\int_{8}^{\infty}\frac{x}{(x^{2}+8)^{4}}\,dx =\frac{1}{2}\int_{8^{2}+8}^{\infty}u^{-4}\,du =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\bigl(8^{2}+8\bigr)^{-3} =\frac{1}{6}\bigl(72\bigr)^{-3},
mas para uma estimativa mais precisa usamos o limite inferior de integração x=8{,}5 (como feita tipicamente para aproximar séries pelo integral), obtendo um valor da ordem de 10^{-7}. Uma avaliação direta dá uma cauda da ordem de 3\times10^{-7}.
Somando a parcial e a cauda estimada:
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{(n^{2}+8)^{4}} \approx 1{,}512\times10^{-4}+0{,}003\times10^{-4}\approx 1{,}515\times10^{-4}.
(A aproximação indicada tem precisão de algumas unidades na casa do 10^{-7}.)]

Resposta

Converge absolutamente; soma aproximada \displaystyle 1{,}515\times10^{-4} (não possui forma elementar simples).

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