Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre a soma da série, se possível.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{\sqrt{n}}-\frac{5}{\sqrt{n+2}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{\sqrt{n}}-\frac{5}{\sqrt{n+2}}\right).
O que é pedido:
  • Determinar se a série converge ou diverge.
  • Se convergir, encontrar a soma da série (se possível).
Informações relevantes fornecidas:
  • Cada termo geral é a diferença de duas frações com raízes: \dfrac{5}{\sqrt{n}} e \dfrac{5}{\sqrt{n+2}}.
  • A soma é sobre n de 1 até \infty.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma simples e transparente): aqui é natural considerar as somas parciais e observar um padrão de cancelamento (telescópico). Vou definir a soma parcial até N e manipular somas para expor o cancelamento entre termos. Isso é uma técnica padrão: escrever a soma parcial e ver que muitos termos se anulam entre si, restando poucos termos de fronteira.

Passo 3

Definir a soma parcial S_N como a soma dos primeiros N termos:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{5}{\sqrt{n}}-\frac{5}{\sqrt{n+2}}\right).
Posso separar a soma em duas somas:
S_N=5\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{\sqrt{n}}-5\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{\sqrt{n+2}}.

Passo 4

Fazer uma mudança de índice na segunda soma para ver o cancelamento de forma clara. Na segunda soma, coloque k=n+2. Quando n=1 temos k=3; quando n=N temos k=N+2. Assim:
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{\sqrt{n+2}}=\sum_{k=3}^{N+2}\frac{1}{\sqrt{k}}.
Substituindo em S_N:
S_N=5\left(\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{\sqrt{n}}-\sum_{k=3}^{N+2}\frac{1}{\sqrt{k}}\right).
Agora escrevendo explicitamente os termos que permanecem após o cancelamento entre as somas (os termos de 1 e 2 na primeira soma não têm correspondentes na segunda, e os dois últimos termos da segunda soma não são cancelados pela primeira):
S_N=5\left(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{N+1}}-\frac{1}{\sqrt{N+2}}\right).
Esse é o resultado exato para a soma parcial S_N.

Passo 5

Analisar o comportamento quando N\to\infty. Observação simples: para m\to\infty vale \dfrac{1}{\sqrt{m}}\to 0 porque o denominador cresce sem limite. Portanto
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{\sqrt{N+1}}=0,\qquad \lim_{N\to\infty}\frac{1}{\sqrt{N+2}}=0.
Tomando limite em S_N:
\lim_{N\to\infty}S_N=5\left(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-0-0\right)=5\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 6

Conclusão sobre convergência e soma: como a sequência das somas parciais S_N tem limite finito quando N\to\infty, a série converge e sua soma é \;5\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Comentário adicional (útil para a prova): os termos individuais da série são aproximadamente da ordem de n^{-3/2} para grande n. Um modo rápido de ver isso é usar desenvolvimento:
\frac{1}{\sqrt{n+2}}=\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+2/n}}\approx\frac{1}{\sqrt{n}}\left(1-\frac{1}{n}+\cdots\right),
logo \dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+2}}\sim \dfrac{1}{n^{3/2}}. Como \sum n^{-3/2} converge ( p=\tfrac{3}{2}>1), isso mostra também que a série converge absolutamente. Mas para obter a soma exata foi suficiente o telescoping.

Resposta

\text{A série converge e }\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{\sqrt{n}}-\frac{5}{\sqrt{n+2}}\right)=5\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)é

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