Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre a soma da série, se possível.
Passo 1
O enunciado dá a série
O que é pedido:
- Determinar se a série converge ou diverge.
- Se convergir, encontrar a soma da série (se possível).
Informações relevantes fornecidas:
- Cada termo geral é a diferença de duas frações com raízes:
e . - A soma é sobre
de até .
Passo 2
Estratégia (explicada de forma simples e transparente): aqui é natural considerar as somas parciais e observar um padrão de cancelamento (telescópico). Vou definir a soma parcial até
e manipular somas para expor o cancelamento entre termos. Isso é uma técnica padrão: escrever a soma parcial e ver que muitos termos se anulam entre si, restando poucos termos de fronteira.
Passo 3
Definir a soma parcial
como a soma dos primeiros
termos:
Posso separar a soma em duas somas:
Passo 4
Fazer uma mudança de índice na segunda soma para ver o cancelamento de forma clara. Na segunda soma, coloque
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim:
Substituindo em
:
Agora escrevendo explicitamente os termos que permanecem após o cancelamento entre as somas (os termos de
e
na primeira soma não têm correspondentes na segunda, e os dois últimos termos da segunda soma não são cancelados pela primeira):
Esse é o resultado exato para a soma parcial
.
Passo 5
Analisar o comportamento quando
. Observação simples: para
vale
porque o denominador cresce sem limite. Portanto
Tomando limite em
:
Passo 6
Conclusão sobre convergência e soma: como a sequência das somas parciais
tem limite finito quando
, a série converge e sua soma é
.
Comentário adicional (útil para a prova): os termos individuais da série são aproximadamente da ordem de
para grande
. Um modo rápido de ver isso é usar desenvolvimento:
logo
. Como
converge (
), isso mostra também que a série converge absolutamente. Mas para obter a soma exata foi suficiente o telescoping.