Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre a soma da série, se possível.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{8}}{\left(n^{2}+8\right)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{8}}{\left(n^{2}+8\right)^{4}}
converge ou diverge. Se convergir, quer-se (se possível) a soma da série. Informações dadas:
  • A série é a soma a partir de n=2 dos termos a_n=\dfrac{n^{8}}{\left(n^{2}+8\right)^{4}}.
  • Não há outras condições adicionais (como sinal alternado ou algo assim) no enunciado.

Passo 2

Lembrete importante e ferramenta principal que vamos usar: um teste necessário para convergência. Para qualquer série de termos a_n, se
\sum_{n=2}^{\infty} a_n
converge, então o termo geral deve tender a zero:
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Esse é um teste rápido e muitas vezes decide a questão imediatamente: se o limite dos termos não for zero, a série diverge. Vamos calcular \lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 3

Calcular o limite do termo geral. Primeiro simplificamos a_n fatorando potências de n no denominador:
\left(n^{2}+8\right)^{4}=n^{8}\left(1+\frac{8}{n^{2}}\right)^{4}.
Portanto
a_n=\frac{n^{8}}{\left(n^{2}+8\right)^{4}} =\frac{n^{8}}{n^{8}\left(1+\dfrac{8}{n^{2}}\right)^{4}} =\frac{1}{\left(1+\dfrac{8}{n^{2}}\right)^{4}}.

Passo 4

Agora passamos ao limite:
\lim_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(1+\dfrac{8}{n^{2}}\right)^{4}}.
Como \dfrac{8}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1}{(1+0)^{4}}=1.

Passo 5

Interpretação: o termo geral a_n tende a \,1, que é diferente de 0. Pelo teste necessário para convergência (às vezes chamado de teste do termo geral), se os termos não tendem a zero a série não pode convergir. Logo a série diverge. Não há soma finita a ser encontrada porque a série não converge.

Resposta

Diverge (os termos gerais tendem a 1\neq 0, logo a série não converge).

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