Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre a soma da série, se possível.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Se convergir, quer-se (se possível) a soma da série. Informações dadas:
- A série é a soma a partir de
dos termos . - Não há outras condições adicionais (como sinal alternado ou algo assim) no enunciado.
Passo 2
Lembrete importante e ferramenta principal que vamos usar: um teste necessário para convergência. Para qualquer série de termos
, se
converge, então o termo geral deve tender a zero:
Esse é um teste rápido e muitas vezes decide a questão imediatamente: se o limite dos termos não for zero, a série diverge. Vamos calcular
.
Passo 3
Calcular o limite do termo geral. Primeiro simplificamos
fatorando potências de
no denominador:
Portanto
Passo 4
Agora passamos ao limite:
Como
quando
, temos
Passo 5
Interpretação: o termo geral
tende a
, que é diferente de
. Pelo teste necessário para convergência (às vezes chamado de teste do termo geral), se os termos não tendem a zero a série não pode convergir. Logo a série diverge. Não há soma finita a ser encontrada porque a série não converge.
Resposta
Diverge (os termos gerais tendem a
, logo a série não converge).