Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre a soma da série, se possível.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Se convergir, pediria também a soma (quando possível).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O termo geral da série é
. - A soma é sobre
. - A função logarítmica é o logaritmo natural (
). Note que , então o termo para está bem definido: . - Como a série tem termos positivos para
, podemos usar testes de séries de termos positivos (por exemplo: teste da integral, comparação, condensação de Cauchy).
Passo 2
Vou preparar a aplicação do Teste da Integral (um método natural aqui). Para usar esse teste precisamos de uma função contínua, positiva e monotona decrescente
para
grande, tal que
. Defino
Primeiro verifico que
para
(pois
e
). Agora mostro que
é decrescente para
(isso garante validade do teste da integral).
Calculo a derivada
. É mais simples derivar o denominador como um produto:
Usando a regra da cadeia e do produto,
Simplificando,
Como essa expressão é positiva para todo
, a derivada de
é positiva, logo a derivada de sua inversa
é negativa:
Portanto
é contínua, positiva e decrescente em
(já basta partir de
para aplicar o teste da integral; o termo inicial
é só um termo finito que não altera a convergência).
Passo 3
Enunciado do Teste da Integral (resumido): se
é contínua, positiva e decrescente em
e
, então a série
e a integral imprópria
convergem ou divergem juntas. Ou seja, se a integral diverge, a série diverge; se a integral converge, a série converge.
Vou então estudar a integral imprópria
Passo 4
Faço a substituição natural
. Então
. Quando
temos
. Quando
temos
. A integral transforma-se em
Calculo essa integral imprópria:
O termo
tende a
quando
. Portanto a integral diverge para
.
Passo 5
Pelo Teste da Integral, como a integral associada diverge, a série
também diverge. Acrescentar o termo
(que é
) não altera a conclusão de divergência da série inteira
.
Passo 6
Observação pedagógica extra (útil para a prova): a essência é que a série se comporta como uma série do tipo
para
grande, e há um resultado padrão dizendo que séries da forma
divergem quando
e convergem quando
. Aqui temos
, então diverge — isso concorda com o cálculo do teste da integral acima. Outra alternativa curta seria aplicar a condensação de Cauchy: verifica-se que a série condensada tem termos com comportamento como
e isso também dá divergência; ambos os caminhos chegam ao mesmo resultado.
Resposta
A série diverge.