Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre a soma da série, se possível.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{\ln (n)+4}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{\ln(n)+4}}
converge ou diverge. Se convergir, pediria também a soma (quando possível).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{1}{n\sqrt{\ln(n)+4}}.
  • A soma é sobre n=1,2,3,\dots.
  • A função logarítmica é o logaritmo natural ( \ln). Note que \ln(1)=0, então o termo para n=1 está bem definido: a_1=\dfrac{1}{1\cdot\sqrt{0+4}}=\dfrac{1}{2}.
  • Como a série tem termos positivos para n\ge1, podemos usar testes de séries de termos positivos (por exemplo: teste da integral, comparação, condensação de Cauchy).

Passo 2

Vou preparar a aplicação do Teste da Integral (um método natural aqui). Para usar esse teste precisamos de uma função contínua, positiva e monotona decrescente f(x) para x grande, tal que f(n)=a_n. Defino
f(x)=\frac{1}{x\sqrt{\ln(x)+4}},\qquad x\ge1.
Primeiro verifico que f(x)>0 para x\ge1 (pois x>0 e \ln(x)+4>0). Agora mostro que f é decrescente para x>1 (isso garante validade do teste da integral).
Calculo a derivada f'(x). É mais simples derivar o denominador como um produto:
f(x)=\bigl(x(\ln x+4)^{1/2}\bigr)^{-1}.
Usando a regra da cadeia e do produto,
\frac{d}{dx}\bigl(x(\ln x+4)^{1/2}\bigr) = (\ln x+4)^{1/2} + x\cdot\frac{1}{2}(\ln x+4)^{-1/2}\cdot\frac{1}{x}.
Simplificando,
\frac{d}{dx}\bigl(x(\ln x+4)^{1/2}\bigr) = (\ln x+4)^{1/2} + \frac{1}{2}(\ln x+4)^{-1/2}.
Como essa expressão é positiva para todo x>1, a derivada de x(\ln x+4)^{1/2} é positiva, logo a derivada de sua inversa f(x) é negativa:
f'(x) = -\bigl(x(\ln x+4)^{1/2}\bigr)^{-2}\!\left[(\ln x+4)^{1/2} + \tfrac{1}{2}(\ln x+4)^{-1/2}\right] <0\quad\text{para }x>1.
Portanto f é contínua, positiva e decrescente em [2,\infty) (já basta partir de 2 para aplicar o teste da integral; o termo inicial n=1 é só um termo finito que não altera a convergência).

Passo 3

Enunciado do Teste da Integral (resumido): se f é contínua, positiva e decrescente em [N,\infty) e a_n=f(n), então a série \sum_{n=N}^{\infty} a_n e a integral imprópria \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx convergem ou divergem juntas. Ou seja, se a integral diverge, a série diverge; se a integral converge, a série converge.
Vou então estudar a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{\ln(x)+4}}\,dx.

Passo 4

Faço a substituição natural u=\ln(x)+4. Então \,du=\dfrac{1}{x}\,dx. Quando x=2 temos u=\ln(2)+4. Quando x\to\infty temos u\to\infty. A integral transforma-se em
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{\ln(x)+4}}\,dx = \int_{\ln(2)+4}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{u}}\,du.
Calculo essa integral imprópria:
\int_{\ln(2)+4}^{\infty} u^{-1/2}\,du = \left[2u^{1/2}\right]_{u=\ln(2)+4}^{u\to\infty} = \lim_{U\to\infty} \bigl(2U^{1/2} - 2(\ln(2)+4)^{1/2}\bigr).
O termo 2U^{1/2} tende a +\infty quando U\to\infty. Portanto a integral diverge para +\infty.

Passo 5

Pelo Teste da Integral, como a integral associada diverge, a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{\ln(n)+4}}
também diverge. Acrescentar o termo n=1 (que é 1/2) não altera a conclusão de divergência da série inteira \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n\sqrt{\ln(n)+4}}.

Passo 6

Observação pedagógica extra (útil para a prova): a essência é que a série se comporta como uma série do tipo
\sum_{n} \frac{1}{n(\ln n)^{1/2}}
para n grande, e há um resultado padrão dizendo que séries da forma \sum \dfrac{1}{n(\ln n)^p} divergem quando p\le1 e convergem quando p>1. Aqui temos p=\tfrac{1}{2}\le1, então diverge — isso concorda com o cálculo do teste da integral acima. Outra alternativa curta seria aplicar a condensação de Cauchy: verifica-se que a série condensada tem termos com comportamento como 1/\sqrt{k} e isso também dá divergência; ambos os caminhos chegam ao mesmo resultado.

Resposta

A série diverge.

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