Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{5^{n}}

Passo 1

O problema pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{5^{n}}.
O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries com termos que envolvem polinômio no numerador e potência no denominador. Vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Seja
a_{n} = \frac{n^{2}+1}{5^{n}}.
Aplicamos o teste da razão e calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{(n+1)^{2}+1}{5^{\,n+1}}}{\frac{n^{2}+1}{5^{n}}} = \frac{(n+1)^{2}+1}{n^{2}+1}\,\frac{1}{5}.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}+1}{n^{2}+1}\,\frac{1}{5} = \frac{1}{5}\,<1.
Como L<1, pelo teste da razão a série converge.

Passo 4

Além disso, todos os termos a_{n} = (n^{2}+1)/5^{n} são positivos, então a convergência obtida é automática de ordem absoluta. Não há convergência condicional, pois a série de valores absolutos é a própria série original.

Resposta

A série converge absolutamente.

Exercícios relacionados