Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série
e decidir se ela converge ou diverge. Se convergir, devemos distinguir convergência absoluta e condicional. O conteúdo principal será o critério da série alternada (Leibniz) e o teste de convergência absoluta via integral (ou comparação).
Passo 2
Para testar convergência absoluta, consideramos a série dos módulos:
Aplicamos o teste da integral: analisamos
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Como a integral diverge, a série
também diverge. Logo, a série original não converge absolutamente.
Passo 3
Agora usamos o critério de Leibniz para séries alternadas. Definimos
- Mostramos que
, pois . - Verificamos que
para . De fato, a função é decrescente para , e já em começamos em , garantindo a queda de .
Como
é positiva, decrescente e tende a zero, o critério de Leibniz garante que
converge.
Resposta
A série converge condicionalmente.