Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais convergem condicionalmente.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n \ln n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n \ln n}
e decidir se ela converge ou diverge. Se convergir, devemos distinguir convergência absoluta e condicional. O conteúdo principal será o critério da série alternada (Leibniz) e o teste de convergência absoluta via integral (ou comparação).

Passo 2

Para testar convergência absoluta, consideramos a série dos módulos:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}.
Aplicamos o teste da integral: analisamos
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x \ln x}.
Fazendo a substituição u = \ln x, du = \tfrac{dx}{x}, obtemos
\int_{\ln 2}^{\infty} \frac{du}{u} =\bigl[\ln u\bigr]_{\ln 2}^{\infty} =\lim_{U\to\infty}\ln U-\ln(\ln2) =\infty.
Como a integral diverge, a série \sum 1/(n\ln n) também diverge. Logo, a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Agora usamos o critério de Leibniz para séries alternadas. Definimos
b_n = \frac{1}{n \ln n}.
  1. Mostramos que \lim_{n\to\infty}b_n = 0, pois n\ln n\to\infty.
  2. Verificamos que b_{n+1}<b_n para n\ge2. De fato, a função f(x)=1/(x\ln x) é decrescente para x>e, e já em n\ge2 começamos em 2>e^{1/1}, garantindo a queda de b_n.
Como b_n é positiva, decrescente e tende a zero, o critério de Leibniz garante que
\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n+1}b_n
converge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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