Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justifique rigorosamente suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}
converge ou diverge, com justificativa rigorosa. Informações dadas:
  • O termo geral da série é \dfrac{1}{n(n+1)} para n=1,2,3,\dots.
  • Os termos são positivos para todo n.

Passo 2

Recordando o que significa que uma série converge: uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se a sequência de somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n
tem limite finito quando N\to\infty. Portanto, o procedimento prático é calcular (ou estimar) S_N e verificar se \lim_{N\to\infty}S_N existe e é finito.

Passo 3

Uma técnica muito útil para termos da forma \dfrac{1}{n(n+1)}\) é decompor em frações simples (parciais). Procuramos constantes \(A\) e \(B\) tais que, para todo \(n\ge1\), \[\frac{1}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}.
Colocando no mesmo denominador obtemos
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{A(n+1)+Bn}{n(n+1)}=\frac{(A+B)n+A}{n(n+1)}.
Igualando coeficientes (a identidade deve valer para todo n) temos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] A=1. \end{cases}
Daí A=1\] e \(B=-1. Logo a decomposição é
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.]

Passo 4

Agora calculemos a soma parcial S_N usando a decomposição encontrada:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Escrevendo alguns termos temos
\begin{aligned} S_N &= \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right)\\[4pt] &= \frac{1}{1} \;-\; \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \;-\; \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \;-\; \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{N} \;-\; \frac{1}{N+1}. \end{aligned}
Observe que ocorre cancelamento telescópico: -\frac{1}{2} cancela com +\frac{1}{2}, -\frac{1}{3} cancela com +\frac{1}{3}, etc. Sobram apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo:
S_N = 1 - \frac{1}{N+1}.]

Passo 5

Tomando limite quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{N+1}\right)=1-0=1.
Portanto a sequência de somas parciais converge para 1. Logo a série converge e sua soma é 1.

Passo 6

Comentário adicional (intuição e verificação): os termos são positivos, e a fórmula explícita para S_N mostra que (S_N) é crescente (cada termo positivo acrescenta algo) e que está limitado superiormente por 1. Uma sequência crescente e limitada converge; isso confirma o resultado obtido pelo telescoping.
Força aí — essa é uma série clássica e a técnica de telescoping é uma ferramenta poderosa para elas!

Resposta

A série converge e sua soma é \;1.

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