Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justifique rigorosamente suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, com justificativa rigorosa. Informações dadas:
- O termo geral da série é
para . - Os termos são positivos para todo
.
Passo 2
Recordando o que significa que uma série converge: uma série
converge se a sequência de somas parciais
tem limite finito quando
. Portanto, o procedimento prático é calcular (ou estimar)
e verificar se
existe e é finito.
Passo 3
Uma técnica muito útil para termos da forma
Colocando no mesmo denominador obtemos
Igualando coeficientes (a identidade deve valer para todo
) temos o sistema
Daí
. Logo a decomposição é
Passo 4
Agora calculemos a soma parcial
usando a decomposição encontrada:
Escrevendo alguns termos temos
Observe que ocorre cancelamento telescópico:
cancela com
,
cancela com
, etc. Sobram apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo:
Passo 5
Tomando limite quando
:
Portanto a sequência de somas parciais converge para
. Logo a série converge e sua soma é
.
Passo 6
Comentário adicional (intuição e verificação): os termos são positivos, e a fórmula explícita para
mostra que
é crescente (cada termo positivo acrescenta algo) e que está limitado superiormente por
. Uma sequência crescente e limitada converge; isso confirma o resultado obtido pelo telescoping.
Força aí — essa é uma série clássica e a técnica de telescoping é uma ferramenta poderosa para elas!
Resposta
A série converge e sua soma é
.